четверг, 23 мая 2013 г.

[Зачет 93] Признаки локального возрастания и убывания функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке.

Признаки локального возрастания и убывания функции. 

Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.

Достаточный признак возрастания функцииЕсли f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функцииЕсли f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х1 и x2 из интервала. Пусть x1<x2. По формуле Лагранжа существует число с∈(х1, x2), такое, что

 (1)


Число с принадлежит интервалу I, так как точки х1 и x2 принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x1)<F(x2) — это следует из формулы (1), так как x2 — x1>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x1)>f (х2) — следует из формулы (1), так как x2—x1>0. Доказано убывание функции f на I. 

Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания). 

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t1 <t2, то f (t1)<f (t2). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.

Замечание 1.

Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

Замечание 2.

Для решения неравенств f' (х)>0 и f' (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f' сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f' в какой-нибудь точке промежутка.


Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке.


Необходимое условие экстремума

      Функция g(x) в точкеx_{0} имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точкиx_{0}и для всех точек x  некоторой области: 0<|x - x_{0}|<\delta, выполнено соответственно неравенство
g(x)<g(x_{0})(в случае максимума) или g(x)>g(x_{0})(в случае минимума).
Экстремум функции находиться из условия:g^{'}(x_{0}) = 0, если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие
Если:
а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точкиx_{0} такой, что первая  производная в данной точке равна нулю или не существует.
б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции
в) производная сохраняет определенный знак справа от точкиx_{0} и слева от этой же точки, тогда точкуx_{0} можно охарактеризовать следующим образом
     Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.
2) Второе достаточное условие
     Если функция g(x) обладает второй производнойg^{''}(x) причем в некоторой точкеx_{0}первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точкаx_{0}экстремум функции g(x), причем если g^{''}(x_{0}) > 0, то точка является максимумом; если g^{''}(x_{0}) < 0, то точка является минимумом.
3) Третье достаточное условие
     Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки x_{0} N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:
а) Если N - четно, то точка x_{0} экстремум функции:g^{(N)}(x_{0}) < 0 у функции точка максимума,  g^{(N)}(x_{0}) > 0 у функции точка минимума.
б) Если N - нечетно, то в точкеx_{0} у функции g(x) экстремума нет.

Абсолютный экстремум

     Наибольшее(наименьшее) значение на сегменте [a;b] непрерывной функции g(x) достигается или в критической точке этой функции(т.е. где производная равна нулю или не существует), или в граничных точках а и b данного сегмента.