четверг, 23 мая 2013 г.

[Зачет 88] Левая и правая производные, необходимое и достаточное условия существования производной. Бесконечная производная.

Левая и правая производные, необходимое и достаточное условия существования производной. 


Пусть f(x) определена в некоторой окрестности x0.
Правой производной функции f(x) в точке xназывается предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx при Δx→+0, т.е. Δx→0, Δ> 0, и обозначается символом f '(x0+0):
Левой производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения Δy к приращению аргумента Δx при Δx→−0, т.е. Δx→0, Δx < 0, и обозначается символом '(x0−0):
.



Необходимые и достаточные


Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).
Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим D y = 3(0+D x)+1-1=3D x при D x>0. При D x<0 D y = -3(0+D x)+1-1=-3D x, значит,
limD x® 0-0D y/D x =-3, limD x® 0+0D y/D x = 3.
Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.






Бесконечная производная.