[Зачет 77] Определение смешанного произведения трёх векторов, его свойства и геометрический смысл.

Определение смешанного произведения трёх векторов, его свойства и геометрический смысл

Смешанным произведением трех векторов , ,  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор : 

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов  правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки  смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если ,  и  компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и  равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°    

2°    

3°    Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда 

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы ,  и образуют левую тройку векторов.

5°    

6°    

7°    

8°    

9°    

10°    Тождество Якоби: 

Если векторы ,  и  заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , , 

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов ,  и :