суббота, 18 мая 2013 г.

[Зачет 77] Определение смешанного произведения трёх векторов, его свойства и геометрический смысл.

Определение смешанного произведения трёх векторов, его свойства и геометрический смысл
Смешанным произведением трех векторов  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор 

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов  правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки  смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если  и  компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.
Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах  и  равен модулю смешанного произведения этих векторов:
Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°    
2°    
3°    Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда 
4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы  и образуют левую тройку векторов.
5°    
6°    
7°    
8°    
9°    
10°    Тождество Якоби: 
Если векторы  и  заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле
Пример
Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах 
Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов  и :