[Зачет 90] Производные элементарных функций (с выводом).

Производные элементарных функций (с выводом).

1. y = xⁿ. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:
   (a + b)ⁿ = aⁿ+n·a^n-1·b + 1/2∙n(n – 1)a^n-2∙b²+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)a^n-3b³+…+ bⁿ,
   можно доказать, что
   
   
   Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)ⁿ, и, следовательно,
   
   Δy=(x+Δx)ⁿ – xⁿ =n·x^n-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·x^n-2·Δx² +…+Δxⁿ.
   Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.
   Найдем предел
   
   
   Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.
2. y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то
   
   Таким образом,
   
   
3. Аналогично можно показать, что
   
   
4. Рассмотрим функцию y= ln x.Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому
   
   Итак,
   
   
5. Используя свойства логарифма можно показать, что