четверг, 23 мая 2013 г.

[Зачет 90] Производные элементарных функций (с выводом).

Производные элементарных функций (с выводом).


  1. y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:
    (a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,
    можно доказать, что
    Итак, если x получает приращение Δx, то f(xx) = (x + Δx)n, и, следовательно,
    Δy=(xx)n – xn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.
    Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.
    Найдем предел
    Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.
  2. y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.Так как, f(xx)=sin(xx), то

    Таким образом,
  3. Аналогично можно показать, что
  4. Рассмотрим функцию y= ln x.Имеем f(xx)=ln(xx). Поэтому

    Итак,
  5. Используя свойства логарифма можно показать, что