вторник, 21 мая 2013 г.

[Зачет 83] Непрерывность элементарных функций. Непрерывность сложной и обратной функций.

Непрерывность элементарных функций. 

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .


Целая и дробная рациональные функции. Непрерывность f(x)=const и f(x)=x непосредственно ясна. На основании теоремы о произведении непрерывных функций вытекает непрерывность любого одночленного выражения axm, по теореме о сумме непрерывных функций - непрерывность многочлена a0x+ a1xn-1 + ... +an-1 + an. Непрерывность данных функций имеет место на всем интервале . Частное двух многочленов  непрерывно всюду, кроме точек b0x+ b1xm-1 +...+ bm-1x + b= 0 (в этих точках - либо разрыв 2-го рода, либо устранимый разрыв).
Показательная функция y=ax(a>1) монотонно возрастает на всем интервале . Ее значения заполняют весь интервал . Из существования логарифма следует непрерывность данной функции.
Логарифмическая функция . Рассмотрим случай a>1. Эта функция возрастает при , и принимает любое значение из . Отсюда следует ее непрерывность.
Степенная функция . При возрастании x от 0 до  возрастает  или убывает  на интервале . Следовательно, данная функция непрерывна.
Тригонометрические функции . Остановимся на функции . Ее непрерывность на отрезке  вытекает из ее монотонности, а также из факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает все значения от -1 до 1. То же относится к любому промежутку . Следовательно, функция  непрерывна для всех значений x. Аналогично - для функции . По свойствам непрерывных функций вытекает непрерывность функций . Исключение для первых двух функций - значения x вида , при которых , для других двух - значения вида , при которых .
Обратные тригонометрические функции . Первые две непрерывны на , остальные - на 



Непрерывность сложной и обратной функций. 


Теорема о непрерывности сложной функции.
Пусть функция j(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=j(t0). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t0.
Доказательство.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем
Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что
,
что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t0<


Определение.Пусть имеется функция f(x) определенная на отрезке <a,b>, значения которой принадлежат некоторому отрезку <c,d>. Если
 ,
то говорят, что на отрезке <c,d> определена функция, обратная к функции f(x) и обозначают это так:x=f(-1)(y).


  Непрерывность обратной функции

Пусть $ f(x)$ -- функция, непрерывная на отрезке $ [a;b]$. Предположим, что $ f(x)$ монотонна на $ [a;b]$; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)<f(x_2)$. Тогда образом отрезка $ [a;b]$ будет отрезок $ [c;d]$, где $ c=f(a)$ и $ d=f(b)$ (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между $ f(a)$ и $ f(b)$ значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к $ y=f(x)$ функция $ {x={\varphi}(y)}$ функция, действующая из $ [c;d]$ в $ [a;b]$. Очевидно, что $ {\varphi}$ монотонно возрастает. (Если бы функция $ f$ была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция $ {\varphi}$ тоже была бы монотонно убывающей.)
        Теорема 3.11   Пусть $ f$ -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$$ \mathcal{E}(f)=[c;d]$. Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$.
        Доказательство.     Во-первых, заметим, что если $ x_1\ne x_2$$ x_1,x_2\in[a;b]$, то $ {\vert f(x_2)-f(x_1)\vert=\vert y_2-y_1\vert>0}$.
Во-вторых, пусть $ 0<h<b-a$; рассмотрим функцию $ g_h(x)=f(x+h)-f(x)$, которая определена при $ x\in[a;b-h]$. Очевидно, что $ g_h$ -- непрерывная на $ [a;b-h]$ функция, поэтому она принимает наименьшее значение $ {\alpha}_h$ в некоторой точке $ \xi\in[a;b-h]$:
$\displaystyle \min\limits_{[a;b-h]}g_h(x)=g_h(\xi)=f(\xi+h)-f(\xi)={\alpha}_h>0.$
Таким образом, если $ \vert x_2-x_1\vert\geqslant h$, то $ \vert f(x_2)-f(x_1)\vert\geqslant {\alpha}_h$, то есть если $ \vert f(x_2)-f(x_1)\vert<{\alpha}_h$, то $ \vert x_2-x_1\vert<h$. Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа $ {\varepsilon}(=h)>0$ найдётся число $ {\delta}(={\alpha}_h)>0$, такое что при $ \vert y_2-y_1\vert<{\delta}$ выполняется неравенство $ \vert{\varphi}(y_2)-{\varphi}(y_1)\vert<{\varepsilon}$. (При этом $ y_1=f(x_1)$$ y_2=f(x_2)$$ x_1={\varphi}(y_1)$$ x_2={\varphi}(y_2)$.) Получили, что функция $ {\varphi}$ удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке $ [c;d]$; тем самым доказано утверждение теоремы.