пятница, 17 мая 2013 г.

[Зачет 68] Определение базиса на плоскости и в пространстве, координаты вектора в базисе. Определение аффинной системы координат, координатных осей и координатных плоскостей. Понятия радиус-вектора точки и координат точки в системе координат.

Определение базиса на плоскости и в пространстве, координаты вектора в базисе. 

Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов a и b. Векторы a и b называются базисными векторами.


Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3, взятые в определённом порядке (рис.1.32). Эти векторы \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3называются базисными.




Пусть в пространстве задан базис \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3. Построим прямые l_1,l_2,l_3, содержащие базисные векторы \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 соответственно. Без ограничения общности можно считать, что эти прямые пересекаются в одной точке (в противном случае можно было взять любые пересекающиеся в одной точке прямые l'_1,l'_2,l'_3, параллельные прямым l_1,l_2,l_3 соответственно, поскольку проекции вектора на параллельные прямые равны. Тогда любой вектор \vec{a} можно однозначно представить в виде суммы своих проекций: \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3, где \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 — векторы, принадлежащие прямым l_1,l_2,l_3 соответственно (см. п.2 теоремы 1.1). Раскладывая проекции \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 по базисам на соответствующих прямых (см. разд.1.3.1), находим: \vec{a}_1=x_1\vec{e}_1,\,\vec{a}_2=x_2\vec{e}_2,\,\vec{a}_3=x_3\vec{e}_3. Подставляя эти разложения в равенство \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3, получаем

\vec{a}=x_1\cdot\vec{e}_1+x_2\cdot\vec{e}_2+x_3\cdot\vec{e}_3.
(1.4)

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.5 (о разложении вектора по базису в пространстве). Любой вектор \vec{a} может быть разложен по базису \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 в пространстве, т.е. представлен в виде (1.4), где числа x_1,x_2,x_3определяются однозначно.

Коэффициенты x_1,x_2,x_3 в разложении (1.4) называются координатами вектора \vec{a} относительно базиса \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 (число x_1, называют абсциссой, x_2 — ординатой, а x_3 — аппликатой вектора \vec{a}). Например, числа 3,2,-1 являются координатами вектора \vec{a}=3\vec{e}_1+2\vec{e}_2-\vec{e}_3 (x_1=3 — абсцисса, x_2=2 — ордината, x_3=-1 — аппликата вектора \vec{a}= 3\vec{e}_1+2\vec{e}_2=\vec{e}_3).

Базисные векторы \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3, отложенные от одной (произвольной) точки, называются репером.

Если система векторов e1, ..., en n-мерного линейного пространства Ln образует базис в Ln, то любой вектор x из Ln может быть представлен в виде
x = С1·e1+ С2·e2+ ...+ Сn· en.
Выражение x = С1·e1+ С2·e2+ ...+ Сn· en называется разложением вектора по базису e1, ..., en, а числа С1С2, ..., Сn называются координатами вектора x  в базисе e1, ..., en.
Координаты вектора принято обозначать тем же символом, что и сам вектор:
x = x1·e1+ x2·e2+ ...+ xn· en.
Взаимно однозначное соответствие x = x1·e1+ x2·e2+ ...+ xn· en ⇐⇒ x = (x1x2, ..., xn)
— изоморфизм Ln и Rn.

ПРИМЕР

ЗАДАЧА 426 Найти координаты вектора x{1,10,10} в

Найти координаты вектора x{1,10,10} в базисе E1, E2, E3, если он задан в базисе e1, e2, e3.
Смотреть решение...



Определение аффинной системы координат, координатных осей и координатных плоскостей. 


Аффинная система координат на прямой, на плоскости, в пространстве


Пусть в пространстве фиксирована точка O. Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой) системой координат:

– аффинная система координат на прямой (рис.2.1,а) - это точка O и ненулевой вектор \vec{e} на прямой (базис на прямой);

– аффинная система координат на плоскости (рис.2.1,6) - это точка O и два неколпинеарных вектора \vec{e}_1,\vec{e}_2, взятые в определенном порядке (базис на плоскости);

– аффинная система координат в пространстве (рис.2.1,в) - это точка O и три некомпланарных вектора \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3, взятые в определенном порядке (базис в пространстве).

Аффинная система координат на прямой, на плоскости и в пространстве

Точка O называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: Ox_1 — ось абсцисс, Ox_2 — ось ординат, Ox_3 — ось аппликат. Плоскости, проходящие через две координатные оси, называютсякоординатными плоскостями.

Аффинная система координат в пространстве (или на плоскости) называется правой, если ее базис является правым, и левой, если её базис — левый.



Координаты векторов и точек в аффинной системе координат


Координатами вектора в заданной системе координат называются, как и ранее, коэффициенты в разложении вектора по базису (см. разд.1.3.1; 1.3.2; 1.3.3).

Для любой точки A в заданной аффинной системе координат можно рассмотреть вектор \overrightarrow{OA} начало которого совпадает с началом координат, а конец - с точкой A (рис.2.1,а,б,в). Этот вектор называется радиус-вектором точки A.

Координатами точки A в заданной системе координат называются координаты радиус-вектора этой точки относительно заданного базиса. В пространстве это координаты вектора \overrightarrow{OA} в базисе \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3, т.е. коэффициенты a_1,a_2,a_3 в разложении \overrightarrow{OA}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{e}_2+a_3\cdot\vec{e}_3 (рис.2.1,в). Координаты точки записывают в виде A(a_1,a_2,a_3). Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой. На плоскости и на прямой координаты записывают в виде A(a_1,a_2) и A(a) согласно разложениям \overrightarrow{OA}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{e}_2 (рис.2.1,6), \overrightarrow{OA}=a\cdot\vec{e} (рис.2.1,а). Координаты точки A, или, что то же самое, координаты ее радиус-вектора \overrightarrow{OA} представляют в виде координатного столбца (матрицы-столбца):

\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} в пространстве, \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} на плоскости.

Разность векторов в аффинной системе координат
Найдем координаты вектора \overrightarrow{AB} с началом в точке A(a_1,a_2,a_3) и концом в точке B(b_1,b_2,b_3). Рассмотрим треугольник OAB (рис.2.2). Радиус-векторы \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} представляются в виде \overrightarrow{OA}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{a}_2+a_3\cdot\vec{e}_3\overrightarrow{OB}=b_1\cdot\vec{e}_1+b_2\cdot\vec{a}_2+b_3\cdot\vec{e}_3. По правилу треугольника (см. разд. 1.1.2) вычитания векторов получаем \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(b_1-a_1)\vec{e}_1+(b_2-a_2)\vec{e}_2+(b_3-a_3)\vec{e}_3, т.е. вектор \overrightarrow{AB} имеет координаты b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3. Этим доказано следующее правило: чтобы найти координаты вектора,нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. Это же правило справедливо для аффинных систем координат на плоскости и на прямой.




Понятия радиус-вектора точки и координат точки в системе координат.


Радиус-вектор точки - это называется вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой.

Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат (рис. 17).
Вектор. Радиус-вектор. Фото
Рис. 17
Введение понятия радиус-вектора оказалось чрезвычайно плодотворным при изучении различных физических явлений. В частности, это понятие широко используется в механике.

Как известно, положение точки можно задать с помощью ее координат. Так, если известны координаты x1 и y1 точки В или координаты x2 и y2 точки С, то мы легко находим положения этих точек на плоскости. Этот способ определения положения точки с помощью ее координат называется координатным способом.

Но можно определить положение точки и по-другому, а именно с помощью радиус-вектора. Если известен радиус-вектор данной точки, то и ее положение оказывается известным, поскольку точка конца радиус-вектора совпадает с данной точкой. Так, положение точки В - это конец ее радиус-вектора r1, а положение точки С - это конец ее радиус-вектора r2. Этот способ определения положения точки с помощью ее радиус-вектора называется векторным способом.

Эти способы эквивалентны друг другу. Покажем это. Найдем проекции радиус-вектора r1 точки В на координатные оси. Напомню, чтобы найти проекцию вектора на ось нужно из координаты конца вектора вычесть координату его начала. Тогда
r1x = x1 − 0 = x1,

r1y = y1 − 0 = y1.
Аналогично для проекций радиус-вектора r2 точки С:

r2x = x2 − 0 = x2,

r2y = y2 − 0 = y2Таким образом, проекции радиус-векторов точек являются координатами этих точек (рис. 18).
Вектор. Проекции радиус-вектора. Фото
Рис. 18
На практике применяются как координатный, так и векторный способы. Более того, при решении многих задач их применяют совместно, что является мощным методом решения, поскольку он позволяет использовать единый подход для решения совершенно разных задач.