среда, 15 мая 2013 г.

[Зачет 55] Определение предела функции в точке по Гейне и по Коши,Геометрическая интерпретация предела. Единственность предела.

Определение предела функции в точке по Гейне и по Коши. 

Предел функции по Гейне 

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f \left( x \right) в точке ~x_0, если для любой последовательности точек \left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty}, сходящейся к ~x_0, но не содержащей ~x_0 в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ~x_0 ), последовательность значений функции \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n=1}^{\infty} сходится к ~A.
\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \left( \forall n \in \N \colon x_n \neq x_0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A

Предел функции по Коши 

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f \left( x \right) в точке ~x_0, если для любого наперёд взятого положительного числа \varepsilon найдётся отвечающее ему положительное число \delta = \delta \left( \varepsilon \right) такое, что для всех аргументов ~x, удовлетворяющих условию 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta, выполняется неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.
\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right)>0 ~ \forall x \colon 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon

ПРИМЕР

ЗАДАЧА 433 Сформулировать при помощи неравенств

Сформулировать при помощи неравенств следующее утверждение:  Смотреть решение...

Геометрическая интерпретация предела. 

Геометрическая интерпретация определения по Коши. Т.к. неравенство (1) равносильно:  то какова бы ни была полоса, ограниченная прямыми  и , найдется интервал , такой что все точки графика  с абсциссами из этого интервала (кроме быть может точки с абсциссами ) окажутся внутри данной полосы



Единственность предела. 




Теорема. Последовательность может иметь только один предел.