ФизМат: [Зачет 53] Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

Функция arcsin

График функции $y = \arcsin x$ .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого $\sin x = m,\, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2},\, |m|\leqslant 1.$

Функция $y=\sin x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y=\arcsin x$ является строго возрастающей.

$\sin (\arcsin x) = x\qquad$ при $-1 \leqslant x \leqslant 1,$
$\arcsin(\sin y) = y\qquad$ при $-\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},$
$D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad$ (область определения),
$E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad$ (область значений).

[править]Свойства функции arcsin

$\arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad$ (функция является нечётной).
$\arcsin x>0 \,$ при $0 < x \leqslant 1$ .
$\arcsin x = 0\,$ при $x=0.$
$\arcsin x < 0\,$ при $-1 \leqslant x < 0.$
$\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end{matrix}\right.$
$\arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 \\ \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.$

[править]Получение функции arcsin

Дана функция $y=\sin x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y= \arcsin x$ функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — $\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$ . Так как для функции $y=\sin x$ на интервале $\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$ каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция $y=\arcsin x,$ график которой симметричен графику функции $y=\sin x$ на отрезке $\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$ относительно прямой $y=x.$

[править]Функция arccos

График функции $y=\arccos x$ .

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого $\cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1.$

Функция $y=\cos x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y=\arccos x$ является строго убывающей.

$\cos (\arccos x)=x$ при $-1 \leqslant x \leqslant 1,$
$\arccos (\cos y) = y$ при $0 \leqslant y \leqslant \pi.$
$D(\arccos x)=[-1; 1],$ (область определения),
$E(\arccos x)=[0; \pi].$ (область значений).

[править]Свойства функции arccos

$\arccos(-x) = \pi - \arccos x\,$ (функция центрально-симметрична относительно точки $\left (0; \frac{\pi}{2}\right)$ ), является индифферентной.
$\arccos x > 0\,$ при $-1 \leqslant x < 1.$
$\arccos x = 0\,$ при $x=1.\,$
$\arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end{matrix}\right.$
$\arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 \\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix} \right.$
$\arccos x = 2 \arcsin \sqrt \frac{1-x}{2}$
$\arccos x = 2 \arccos \sqrt \frac{1+x}{2}$
$\arccos x = 2 \operatorname{arctg} \sqrt \frac{1-x}{1+x}$

[править]Получение функции arccos

Дана функция $y=\cos x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\arccos x$ функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — $[0; \pi].$ На этом отрезке $y=\cos x$ строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке $[0; \pi]$ существует обратная функция $y = \arccos x,$ график которой симметричен графику $y=\cos x$ на отрезке $[0; \pi]$ относительно прямой $y=x.$

[править]Функция arctg

График функции $y=\operatorname{arctg}\, x$ .

Арктангенсом числа m называется такое значение угла $\alpha$ , для которого $\operatorname{tg}\, \alpha = m , \qquad -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}.$

Функция $y=\operatorname{arctg} x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y=\operatorname{arctg} x$ является строго возрастающей.

$\operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x$ при $x \in \mathbb R,$
$\operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y$ при $-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},$
$D(\operatorname{arctg}\,x) = (-\infty; \infty),$
$E(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$

[править]Свойства функции arctg

$\operatorname{arctg} x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$\operatorname{arctg} x = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ , при x > 0.

$\operatorname{arctg} x = \operatorname{arcctg} \frac{1}{x}$ , при x > 0.

[править]Получение функции arctg

Дана функция $y=\operatorname{tg}\, x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\operatorname{arctg}\, x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right).$ На этом отрезке $y=\operatorname{tg}\, x$ строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ существует обратная $y=\operatorname{arctg}\, x$ , график которой симметричен графику $y=\operatorname{tg}\,x$ на отрезке $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ относительно прямой $y=x.$

[править]Функция arcctg

График функции y=arcctg x

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого $\operatorname{ctg}\,x = m,\qquad 0 < x < \pi.$

Функция $y=\operatorname{arcctg}\, x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y=\operatorname{arcctg}\, x$ является строго убывающей.

$\operatorname{ctg}\,(\operatorname{arcctg}\, x) = x$ при $x \in \mathbb R,$
$\operatorname{arcctg}\,(\operatorname{ctg}\, y) = y$ при $0<y<\pi,$
$D(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty),$
$E(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi).$

[править]Свойства функции arcctg

$\operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x$ (график функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0; \frac{\pi}{2}\right).$
$\operatorname{arcctg}\, x > 0$ при любых $x.$
$\operatorname{arcctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \geqslant 0 \\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \leqslant 0\end{matrix}\right.$

[править]Получение функции arcctg

Дана функция $y=\operatorname{ctg}\, x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\operatorname{arcctg}\, x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз — $(0; \pi)$ . На этом отрезке $y=\operatorname{ctg}\, x$ строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале $(0; \pi)$ существует обратная функция $y=\operatorname{arcctg}\, x$ , график которой симметричен графику $y=\operatorname{ctg}\, x$ на отрезке $(0; \pi)$ относительно прямой $y=x.$ График симметричен к арктангенсу

среда, 15 мая 2013 г.

[Зачет 53] Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.