среда, 15 мая 2013 г.

[Зачет 53] Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функцииаркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.


Функция arcsin

График функции y = \arcsin x.
Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого \sin x = m,\, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2},\, |m|\leqslant 1.
Функция y=\sin x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\arcsin x является строго возрастающей.
  • \sin (\arcsin x) = x\qquad при -1 \leqslant x \leqslant 1,
  • \arcsin(\sin y) = y\qquad при -\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},
  • D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad (область определения),
  • E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad (область значений).

[править]Свойства функции arcsin

  • \arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad (функция является нечётной).
  • \arcsin x>0 \, при 0 < x \leqslant 1.
  • \arcsin x = 0\, при x=0.
  • \arcsin x < 0\, при -1 \leqslant x < 0.
  • \arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 
\\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 
\end{matrix}\right.
  • \arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
  • \arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 
\\ \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.

[править]Получение функции arcsin

Дана функция y=\sin x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y= \arcsin x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]. Так как для функции y=\sin x на интервале \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция y=\arcsin x, график которой симметричен графику функции y=\sin x на отрезке \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ] относительно прямой y=x.

[править]Функция arccos

График функции y=\arccos x.
Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого \cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1.
Функция y=\cos x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\arccos x является строго убывающей.
  • \cos (\arccos x)=x при -1 \leqslant x \leqslant 1,
  • \arccos (\cos y) = y при 0 \leqslant y \leqslant \pi.
  • D(\arccos x)=[-1; 1], (область определения),
  • E(\arccos x)=[0; \pi]. (область значений).

[править]Свойства функции arccos

  • \arccos(-x) = \pi - \arccos x\, (функция центрально-симметрична относительно точки \left (0; \frac{\pi}{2}\right)), является индифферентной.
  • \arccos x > 0\, при -1 \leqslant x < 1.
  • \arccos x = 0\, при x=1.\,
  • \arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 
\end{matrix}\right.
  • \arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 
\\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}
\right.
  • \arccos x = 2 \arcsin \sqrt \frac{1-x}{2}
  • \arccos x = 2 \arccos \sqrt \frac{1+x}{2}
  • \arccos x = 2 \operatorname{arctg} \sqrt \frac{1-x}{1+x}

[править]Получение функции arccos

Дана функция y=\cos x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\arccos x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — [0; \pi]. На этом отрезке y=\cos x строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0; \pi] существует обратная функция y = \arccos x, график которой симметричен графику y=\cos x на отрезке [0; \pi]относительно прямой y=x.

[править]Функция arctg

График функции y=\operatorname{arctg}\, x.
Арктангенсом числа m называется такое значение угла \alpha, для которого \operatorname{tg}\, \alpha = m , \qquad -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}.
Функция y=\operatorname{arctg} x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\operatorname{arctg} x является строго возрастающей.
  • \operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x при x \in \mathbb R,
  • \operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y при -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},
  • D(\operatorname{arctg}\,x) = (-\infty; \infty),
  • E(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)

[править]Свойства функции arctg

  •  \operatorname{arctg} x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

  •  \operatorname{arctg} x = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} , при x > 0.

  •  \operatorname{arctg} x = \operatorname{arcctg} \frac{1}{x} , при x > 0.

[править]Получение функции arctg

Дана функция y=\operatorname{tg}\, x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\operatorname{arctg}\, x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right). На этом отрезке y=\operatorname{tg}\, x строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) существует обратная y=\operatorname{arctg}\, x, график которой симметричен графику y=\operatorname{tg}\,x на отрезке \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) относительно прямой y=x.

[править]Функция arcctg

График функции y=arcctg x
Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого \operatorname{ctg}\,x = m,\qquad 0 < x < \pi.
Функция y=\operatorname{arcctg}\, x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\operatorname{arcctg}\, x является строго убывающей.
  • \operatorname{ctg}\,(\operatorname{arcctg}\, x) = x при x \in \mathbb R,
  • \operatorname{arcctg}\,(\operatorname{ctg}\, y) = y при 0<y<\pi,
  • D(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty),
  • E(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi).

[править]Свойства функции arcctg

  • \operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x (график функции центрально-симметричен относительно точки \left(0; \frac{\pi}{2}\right).
  • \operatorname{arcctg}\, x > 0 при любых x.
  • \operatorname{arcctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad  x \geqslant 0 
\\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \leqslant 0\end{matrix}\right.

[править]Получение функции arcctg

Дана функция y=\operatorname{ctg}\, x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\operatorname{arcctg}\, x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз — (0; \pi). На этом отрезке y=\operatorname{ctg}\, x строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (0; \pi) существует обратная функция y=\operatorname{arcctg}\, x, график которой симметричен графику y=\operatorname{ctg}\, x на отрезке (0; \pi)относительно прямой y=x. График симметричен к арктангенсу