суббота, 18 мая 2013 г.

[Зачет 79] Формулы объёмов параллелепипеда и тетраэдра и их вывод. Критерий компланарности векторов.

Формулы объёмов параллелепипеда  и тетраэдра и их вывод. 

Объем правильного тетраэдра

Объем тетраэдра

Правильный тетраэдр- пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.
а -ребро тетраэдра




Объем правильного тетраэдра (V):
Формула объема тетраэдра

Объем прямоугольного параллелепипеда
Параллелепипедом называется призма, основание которой параллелограмм. Параллелепипед имеет шесть граней, и все они — параллелограммы. Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед у которого все шесть граней прямоугольники, называется прямоугольным.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
1.
V= SH= abc

Критерий компланарности векторов. 

  Теорема 4.7. (критерий компланарности). Векторы а, b, c компланарны тогда итолько тогда, когда их смешанное произведение  = 0. 

    Доказательство. Необходимость. Пусть а, b, c компланарны. будем считать,что а и b не коллиниарны и с ≠ 0 (в каждом из этих случаев, очевидно, (а, b, c) = 0). Тогда а, b, c параллельны плоскости π(a, b), причем [a, b] ⊥ π(a, b). Следовательно, ([a, b], c) = 0. 
     Достаточность. Путсь (а, b, c) = 0. Тогда либо |[a, b]| = 0, либо |c| = 0, либо cos φ = 0, где φ − угол между векторами [a, b] и с. Это означает, что либо a и b коллиниарны, либо с = 0, либо с параллелен плоскости π(a, b). Во всех этих случаях a, b и c компланарны. Теорема доказана.