вторник, 14 мая 2013 г.

[Зачет 40] Доказательство теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.


 Доказательство теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

Теорема 

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. 


Доказательство. 

Пусть есть треугольник ABC и его проекция ABC1 на плоскость α. Проведем высоту CD треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах отрезок C1D – высота треугольника ABC1. Угол CDC1 равен углу φ между плоскостью треугольника ABC и плоскостью проекции α. 



Следовательно, для треугольника теорема верна. 
Пусть теперь есть многоугольник ABCD. Разобьем его на треугольники. Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, разобьем на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции. Получаем что для каждого треугольника Δ и его проекции Δ` в плоскости α верно равенство 


Сложим все эти равенства почленно. Получим