вторник, 21 мая 2013 г.

[Зачет 84] Непрерывность функции на отрезке. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

Непрерывность функции на отрезке. 


Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках.
Функция f(x) называется непрерывной на интервале (ab), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [ab], если она непрерывна на интервале (ab), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Функция  называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть  и непрерывной слева в точке , то есть  .

Замечание. Функция, непрерывная на отрезке [a,b] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)
Множество функций, непрерывных на отрезке [ab] обозначается символом C[ab].


Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. 

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ab], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое числоC> 0, что "x О [ab] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.


Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ab], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки αβ О [ab] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [ab] (рис.2).
Наибольшее значение M обозначается символом maxx О [ab] f(x), а наименьшее значение m — символом minx О [ab] f(x).
Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ab] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a,b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX (рис.3).
Замечание. На этой теореме основан метод приближенного решения уравнения
 
f(x) = 0,(1)
 
называемый методом бисекции (дихотомии), или методом половинного деления.

Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ab], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b).


Cуществование непрерывной обратной функции
Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [αβ] ( α = f(a), β = f(b) ) cуществует обратная функция x = g(y), также строго монотонная и непрерывная на отрезке (αβ).