вторник, 21 мая 2013 г.

[Зачет 81] Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Скачок. Вертикальные асимптоты.

Непрерывность функции в точке. 



Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0).
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:
lim
x → x0
 f(x) = f(x0),
(1)
т.е.
" Of(x0) )     $ O(x0) :     x О O(x0Ю f(xО Of(x0) ) .




Точки разрыва и их классификация. 



       Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

      Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)
не является непрерывной в любой точке х0.
Пример. Функция f(x) =  имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.
.





Скачок.


Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.


Вертикальные асимптоты. 

Если хотя бы один из односторонних пределов f(x0 − 0),  f (x0 + 0) равен бесконечности, то прямая x = x 0 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).

 Вертикальные асимптоты 
     1. Линия задана уравнением y = f(x). Если , то x = a - вертикальная асимптота. В частности, если , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота; если же , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.
     2. Линия задана уравнениями x = x(t)y = y(t). Если , то x = a - вертикальная асимптота. В частности, если , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота; если же , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.