четверг, 16 мая 2013 г.

[Зачет 60] Основные способы раскрытия неопределённостей. Примеры.

Основные способы раскрытия неопределённостей. Примеры.

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:
(\infty-\infty)  \left (\frac{\infty}{\infty} \right )    \left (\frac{0}{0} \right )    \left (~0^0 \right )    \left (1^\infty \right )    \left (\infty^0 \right )  (0\cdot\infty)
(Здесь  ~0 - бесконечно малая величина, а \infty - бесконечно большая величина)
по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Теорема Лопиталя:
  1. \lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to a}{g(x)}=0 либо \infty;
  2. ~f(x) и ~g(x) дифференцируемы в проколотой окрестности ~a;
  3. g'(x)\neq 0 в проколотой окрестности ~a;
  4. существует \lim_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}},
тогда существует \lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}.
Пределы также могут быть односторонними.