вторник, 21 мая 2013 г.

[Зачет 85] Определение производной функции в точке и на множестве. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке.

Определение производной функции в точке и на множестве. 


Пусть функция  y=f(x)  определена в точке  x_{0}  и некоторой ее окрестности. Придадим аргументуx_{0}приращение \triangle x такое, что точка x_{0}+ \triangle x попадает в область определения функции.  Функция при этом получит приращение \triangle f(x_{0}) = f(x_{0}+ \triangle x) - f(x_{0}) . 
     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1Производной функции  y=f(x)  в точке x_{0} называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента \triangle x,  при \triangle x \to 0(если этот предел существует и конечен), т.е.
\lim_{\triangle x \to 0}\frac{\triangle f(x_{0})}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x_{0}+\triangle x) - f(x_{0})}{\triangle x}.
Обозначают: {f}'(x_{0}) , \frac{\mathrm{d} f(x_{0})}{\mathrm{d} x} , {y}'(x_{0}) , \frac{\mathrm{d} y(x_{0})}{\mathrm{d} x} .

Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке.



Пусть дано топологическое пространство T  и последовательность ~\{x_n\}. Тогда, если существует элемент x \in T такой, что
\forall U(x) \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow x_n \in U(x)),
где U(x)  — открытое множество, содержащее x , то он называется пределом последовательности x_n . Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент x \in T такой, что
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow d(x_n, x) < \varepsilon),
где d(x,y)  — метрика, то x  называется пределом x_n .


Геометрический смысл производной. 


Геометрический смысл производной


Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
ghjbpd
Рассмотрим график функции f ( ):
ana3b
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf(x0+x)f(x0)=tg, где  - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.
Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВприближается к касательной АС.
Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.
Отсюда следует:
производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.
В этом и состоит геометрический смысл производной.




Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке.


Уравнение касательной
Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной: 
y/(x)=limΔx0ΔxΔy

Δy=f(x+Δx)f(x). 

Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k 

Т.к. x0 и f(x0)  прямой, то уравнение касательной записывается в виде: yf(x0)=f/(x0)(xx0, или
y=f/(x0)·x+f(x0)f/(x0)·x0




Уравнение нормали
Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:
tgβ=tg(2πα)=ctgα=1tgα=1f/(x0)


Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:
tgβ1=tg(πβ)=tgβ=1f/(x).

Точка (x0,f(x0))  нормали, уравнение примет вид:
yf(x0)=1f/(x0)(xx0).
Примеры.

ЗАДАЧА 392 Напишите уравнение касательной к графику

Напишите уравнение касательной к графику функции y=0,5x^2–3x+1, проходящей под углом 45° к прямой y=0. Смотреть решение...

ЗАДАЧА 393 Дана функция y = x^3. Составить

Дана функция y = x^3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0=2. Смотреть решение...

ЗАДАЧА 394 Составить уравнение касательной к

Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2. Смотреть решение...