пятница, 17 мая 2013 г.

[Зачет 61] Теоремы о предельном переходе в неравенствах. Теорема о зажатой функции.

Теоремы о предельном переходе в неравенствах.


     Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).
     Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b - a можно указать номер Nтакой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b -a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
     Замечание. Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn > b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если , то xn > 0, однако .
     Следствие 1. Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn≤ yn, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:
     В самом деле, элементы последовательности {yn - xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что




  Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности {xn} находятся на сегменте [ab], то и ее предел c также находится на этом сегменте.
     В самом деле, так как a ≤ xn ≤ b, то a ≤ c ≤ b.
     Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.
     Теорема. Пусть {xn} и {zn} - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn} удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn. Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел a.
     Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность {yn - a} является бесконечно малой. Обозначим через N* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства xn - a≤ yn - a ≤ zn - a. Отсюда следует, что при n ≥ N* элементы последовательности {yn - a} удовлетворяют неравенству
|yn - a| ≤ max {|xn - a|, |zn - a|}.
     Так как  и , то для любого ε > 0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при n ≥ N1 |xn - a| < ε, а при n ≥ N2 |zn - a| < ε. Пусть N= max{N*N1N2}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |yn - a| < ε. Итак, последовательность {yn - a} - бесконечно малая. Теорема доказана.


Теорема о зажатой функции.


Если функция y=f(x) такая, что \varphi(x)\leqslant f(x)\leqslant\psi(x) для всех x в некоторой окрестности точки a, причем функции \varphi(x) и \psi(x) имеют одинаковый предел при x\to a, то существует предел функции y=f(x) при x\to a, равный этому же значению, то есть
\lim_{x\to a}\varphi(x)=\lim_{x\to a}\psi(x)=A\Rightarrow\lim_{x\to a}f(x)=A.