суббота, 18 мая 2013 г.

[Зачет 75] Вывод формулы для вычисления векторного произведения векторов в ортонормированном базисе.

Вывод формулы для вычисления векторного произведения векторов в ортонормированном базисе. 


Теорема 1.8 (формула вычисления векторного произведения). Если векторы \vec{a} и \vec{b} в правом ортонормированием базисе \vec{i},\vec{j},\vec{k}имеют координаты x_a,y_a,z_a и x_b,y_b,z_b соответственно, то векторное произведение этих векторов находится по формуле (1.15), которую принято записывать в виде

\bigl[\vec{a}, \vec{b}\bigr]\,= \begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j}&\vec{k}\\x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\end{vmatrix}.
(1.16)

Если a=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T и b=\begin{pmatrix}x_b&y_b&z_b\end{pmatrix}^T — координатные столбцы векторов \vec{a} и \vec{b} в стандартном базисе, то координатный столбец c=\begin{pmatrix}x_c&y_c&z_c\end{pmatrix}^T векторного произведения \vec{c}=[\vec{a},\vec{b}] находится по формуле

Параллелограмм построен на векторах
\begin{pmatrix} x_c\\y_c\\z_c \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&-z_a&y_a\\z_a&0&-x_a\\-y_a&x_a&0 \end{pmatrix}\!\cdot \!\begin{pmatrix} x_b\\y_b\\z_b\end{pmatrix}.

В самом деле, выполняя умножение матрицы на столбец, получаем

\begin{pmatrix}x_c\\y_c\\z_c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_a\cdot z_b-y_b\cdot z_a\\x_b\cdot z_a-x_a\cdot z_b\\x_a\cdot y_b-x_b\cdot y_a\end{pmatrix}.

Тогда \vec{c}=[\vec{a},\vec{b}]=(y_az_b-y_bz_a){\cdot}\vec{i}+(x_bz_a-x_az_b){\cdot}\vec{j}+(x_ay_a-x_by_a){\cdot}\vec{k}, что совпадает с (1.15).