суббота, 18 мая 2013 г.

[Зачет 74] Понятия правого и левого базисов. Определение векторного произведения векторов, его свойства. Критерий коллинеарности векторов.

Понятия правого и левого базисов. 





Определение векторного произведения векторов, его свойства. 

18. Векторным произведением векторов  и  называется вектор , который определяется следующими условиями:
1) Его модуль равен  где  - угол между векторами  и .
2) Вектор  перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами  и .
3) Вектор  направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы  и , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).
Векторное произведение векторов  и  обозначается символом :
     (25)
или
     (26)
Основные свойства векторного произведения:
1) Векторное произведение  равно нулю, если векторы  и  коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):
Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

3)  (распределительное свойство).
Выражение векторного произведения  через проекции векторов  и  на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой
     (27)
которую можно записать с помощью определителя
     (28)
Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам
     (29)
и тогда на основании (4)
     (30)
Механический смысл векторного произведения состоит в следующем: если вектор  - сила, а вектор  есть радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке O, то момент силы  относительно точки O  есть вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора  точки приложения силы на силу , т. е.