четверг, 23 мая 2013 г.

[Зачет 89] Теорема о производной сложной функции. Теорема о производной обратной функции.

Теорема о производной сложной функции.


1.5. Производная сложной функции
Рассмотрим сложную функцию y = y(u(x))
Теорема 4. Если функции y = y(u)u = u(x) дифференцируемы (т.е. существуют производные y'uu'x), тогда сложная функция y = y(u(x)) дифференцируема и y'x = y'u u'x.
Доказательство
Если аргумент x получит приращение Δx, то функция u получит приращение Δu = u(x + Δx) − u(x), а функция y получит приращение Δy = y(u + Δu) − y(u). Но тогда, воспользовавшись свойствами предела функции, получаем
Теорема доказана.



Теорема о производной обратной функции. 


1.6. Производная обратной функции
Рассмотрим функцию y = f(x), для которой существует обратная функция x = g(y).
Теорема 5. Если обратная функция x = g(y) дифференцируема и g'(y)  0, то функцияy=f(x) дифференцируема, и 
Доказательство
Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения ΔxΔy связаны следующим образом:Δx=g(y + Δy) − g(y).
Тогда получаем
Теорема доказана.