суббота, 18 мая 2013 г.

[Зачет 70] Определение ортонормированного базиса и прямоугольной декартовой системы координат (ПДСК). Вывод формул для вычисления длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе, расстояния между двумя точками.

Определение ортонормированного базиса и прямоугольной декартовой системы координат (ПДСК). 


Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.


Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.



Вывод формул для вычисления длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе, расстояния между двумя точками. 

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора изображение будем обозначать изображение. Аналогичное обозначение имеет модуль числа, и длину вектора часто называют модулем вектора.
Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.
Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор изображение и он имеет координаты изображение. Получим формулу, позволяющую находить длину вектора изображение через координаты изображение и изображение.
Отложим от начала координат (от точки О) вектор изображение. Обозначим проекции точки А на координатные оси как изображение и изображение соответственно и рассмотрим прямоугольник изображение с диагональю ОА.
изображение
В силу теоремы Пифагора справедливо равенство изображение, откуда изображение. Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что изображение и изображение, а по построению длина ОА равна длине вектора изображение, следовательно, изображение.
Таким образом, формула для нахождения длины вектора изображение по его координатам на плоскости имеет вид изображение.
Если вектор изображение представлен в виде разложения по координатным векторам изображение, то его длина вычисляется по этой же формуле изображение, так как в этом случае коэффициенты изображение и изображение являются координатами вектора изображение в заданной системе координат.
Рассмотрим пример.
Пример.
Найдите длину вектора изображение, заданного в декартовой системе координат.
Решение.
Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам изображение:
изображение
Ответ:
изображение.
Теперь получим формулу для нахождения длины вектора изображение по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.
Отложим от начала координат вектор изображение и обозначим проекции точки А на координатные оси как изображение и изображение. Тогда мы можем построить на сторонах изображение и изображениепрямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.
изображение
В этом случае изображение (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда изображение. Определение координат вектора позволяет нам записать равенства изображение, а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, изображение.
Таким образом, длина вектора изображение в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле изображение.
Пример.
Вычислите длину вектора изображение, где изображение - орты прямоугольной системы координат.
Решение.
Нам дано разложение вектора изображение по координатным векторам вида изображение, следовательно, изображение. Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем изображение.
Ответ:
изображение.
Длина вектора через координаты точек его начала и конца.
А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?
В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.
Таким образом, если на плоскости заданы точки изображение и изображение, то вектор изображение имеет координаты изображение и его длина вычисляется по формуле изображение, а формула для нахождения длины вектора изображение по координатам точек изображение и изображение трехмерного пространства имеет вид изображение.
Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Найдите длину вектора изображение, если в прямоугольной декартовой системе координат изображение.
Решение.
Можно сразу применить формулу для нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости изображение:
изображение
Вторым вариантом решения является определение координат вектора через координаты точек и применение формулы изображение:
изображение
Ответ:
изображение.
Пример.
Определите, при каких значениях изображение длина вектора изображение равна изображение, если изображение.
Решение.
Длина вектора изображение по координатам точек начала и конца может быть найдена как
изображение
Приравняв полученное значение длины вектора к изображение, вычислим искомые изображение:
изображение
Ответ:
при изображение.
Нахождение длины вектора по теореме косинусов.
Большинство задач на нахождение длины вектора решаются в координатах. Однако, когда координаты вектора не известны приходится искать другие пути решения.
Пусть известны длины двух векторов изображениеизображение и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора изображение или изображение. В этом случае можно по теореме косинусов в треугольнике АВС вычислить длину стороны ВС, которая равна искомой длине вектора.
Разберем решение примера для пояснения сказанного.
Пример.
Длины векторов изображение и изображение равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен изображение. Вычислите длину вектора изображение.
Решение.
Длина вектора изображение равна длине стороны ВС в треугольнике АВС. Из условия нам известны длины сторон АВ и АС этого треугольника (они равны длинам соответствующих векторов), а также угол между ними, поэтому нам достаточно данных для применения теоремы косинусов:
изображение
Таким образом, изображение.
Ответ:
изображение.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам используем формулы
изображение или изображение,
по координатам точек начала и конца вектора -
изображение или изображение,
в некоторых случаях к результату приводит теорема косинусов.

Расстояние между двумя точкамиA1(x1;y1) и A2(x2;y2) в прямоугольной системе координат выражается формулой:
1.
d=
(x2x1)2+(y2y1)2
Порядок точек не играет роли. Расстояние считается положительным. поэтому корень берется с одним знаком (плюс).
Расстояние между двумя точкамиРасстояние между двумя точками