вторник, 11 декабря 2012 г.

[Билет 8] Обратная функция. Критерий обратимости функции. Сложная функция.

Обратная функция.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.


Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а¹0) является х = (у—b)/a

Критерий обратимости функции.
Если функция f такова, что каждому значению соответствует только одно значение то эту функцию называют обратимой. Для такой функции уравнение y = f (x) можно при любом y однозначно разрешить относительно x, то есть каждому соответствует единственное значение Это соответствие определяет функцию, которую называют обратной к функции f и обозначают символом f–1. Пусть g = f–1. Тогда: D (g) = E (f), E (g) = D (f); для любого g (f (x)) = x, для любого f (g (x)) = x; графики функций y = f (x) и y = g (x) симметричны друг другу относительно прямой y = x. Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке [a; b], то на отрезке [f (a); f (b)] определена функция x = g (y), обратная к f, непрерывная и строго возрастающая (строго убывающая). Пусть функции x = f1 (t) и y = f2 (t) определены на множестве E, и пусть D – множество значений функции f1. Если функция f1 обратима на E и – обратная к ней функция, то на множестве D определена сложная функция которую называют параметрически заданной уравнениями x = f1 (t) и y = f2 (t).




Сложная функция.


Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.