пятница, 14 декабря 2012 г.

[Билет 27] Определение многочлена. Степень многочлена. Операции сложения и умножения многочленов. Корень многочлена. Деление многочлена на многочлен с остатком (столбиком и методом неопределённых коэффициентов).

Определение многочлена.

Определение. Многочленом (или полиномом) называют выражение вида:

a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-2x2+an-1x+an

Где n - любое натуральное число или 0, а a0, a1, ..., an - какие-то действительные числа, называемые коэффициентами многочлена. 

Определение. Функция f(x) действительной или комплексной переменной x называется многочленом, если она может быть представлена в виде:

f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-2x2+an-1x+an


 Степень многочлена.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Для примера найдем степень многочлена 8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 :

8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 = 4x2y -6.


{Цифры стоящие после переменных - степени, извините}

 Операции сложения и умножения многочленов.

При сложении многочленов пользуются следующими правилами:

1) Для того чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Например, 5a – 7a + 4a = 2a.

2) Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Например, 3x + (2a – y) = 3x + 2a – y.

3) Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив на противоположный знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Например, 3x - (2a – y) = 3x - 2a + y.


Умножение одночлена на многочлен

При умножении одночлена на многочлен пользуются следующим правилом:

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

При умножении многочлена на многочлен пользуются следующим правилом:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

С помощью букв это правило можно записать следующим образом:

 Также это можно делать с помощью сокращенного умножения

 Корень многочлена.


Теорема. Пусть F(x) и G(x) - два произвольных многочлена. Число a тогда и только тогда является корнем уравнения F(x)* G(x) = 0, когда оно является корнем хотя бы одного из уравнений F(x) = 0, G(x) =0.
Деление многочлена на многочлен с остатком (столбиком и методом неопределённых коэффициентов).

 Столбиком.




Деление многочленов уголком

Ответ: 3x5+2x4+x2-x+1 = (3x2-4x+5)*(x3+2x2+x)-5x2-6x+1
Метод неопределенных коэффициентов


Рассмотрим два многочлена $ P_n(x),\ Q_m(x)$ степени $ n$ и $ m$ соответственно, т.е.
$\displaystyle P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0, $
$\displaystyle Q_m(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0, $
предположим, что $ n\geq m$ .
При делении многочлена $ P_n(x)$ на многочлен $ Q_m(x)$ , где $ n\geq m$ , нужно найти многочлены$ R_{n-m}(x)$ и $ r_{m-1}(x)$ такие, чтобы выполнялось равенство
$\displaystyle R_{n-m}(x)Q_m(x)+r_{m-1}(x)=P_n(x). $
Опишем метод неопределенных коэффициентов. Этот метод основывается на том, что многочлен $ n$ -ой степени имеет ровно $ n$ корней с учетом их кратности. Это означает, что если многочлен обращается в нуль более чем в $ n$ точках, то этот многочлен нулевой (все коэффициенты равны нулю).
Запишем многочлены $ R_{n-m}(x)$ и $ r_{m-1}(x)$ с произвольными коэффициентами, т.е.
$\displaystyle R_{n-m}(x)=c_{n-m}x^{n-m}+c_{n-m-1}x^{n-m-1}+\ldots + c_0 $
и
$\displaystyle r_{m-1}(x)=d_{m-2}x^{m-2}+d_{m-3}x^{m-3}+\ldots + d_0. $
Умножим и сложим многочлены в левой части равенства:
$\displaystyle R_{n-m}(x)Q_m(x)+r_{m-1}(x)=P_n(x), $
получим
$\displaystyle (c_{n-m}x^{n-m}+c_{n-m-1}x^{n-m-1}+ \ldots +c_0) (b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0)+ $
$\displaystyle + d_{m-2}x^{m-2}+d_{m-3}x^{m-3}+\ldots+d_0= $
$\displaystyle = c_{n-m}b_mx^n+c_{n-m}b_{m-1}x^{n-1}+\ldots+c_0b_0+d_0= $
$\displaystyle = A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+\ldots+A_0. $
здесь приведены подобные, т.е. группировка по степеням $ x$ .
В итоге получим, что для любого значения переменной $ x$ выполняется равенство левой и правой частей. Это означает, что многочлен $ n$ -ой степени обращается в нуль более, чем в $ n$точках. Для равенства нулю многочлена достаточно потребовать равенства нулю всех его коэффициентов.
Приравняем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях $ x$ в равенстве
$\displaystyle c_{n-m}b_mx^n+c_{n-m}b_{m-1}x^{n-1}+\ldots+c_0b_0+d_0= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0 $
или
$\displaystyle A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+\ldots+A_0= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0. $
Имеем систему линейных алгебраических уравнений:
$\displaystyle x^n:\quad A_n=c_{n-m}b_m=a_n; $
$\displaystyle x^{n-1}:\quad A_{n-1}=a_{n-1}; $
$\displaystyle \dots $
$\displaystyle x^0:\quad A_0=c_0b_0+d_0=a_0; $
из которой определяются неизвестные коэффициенты.

Автор: на
Ярлыки: