пятница, 14 декабря 2012 г.

[Билет 32] Степень с целым показателем. Степенная функция с натуральным и целым показателями, свойства и графики.

Степень с целым показателем.



Степенная функция с натуральным и целым показателями, свойства и графики.




Вы знакомы с функциями y=x, y=x2, y=x3, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=xp, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях и p имеет смысл степень xp. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.
  1. Показатель p=2n -четное натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x2n, где n - натуральное число, обладает следующими
свойствами:
  • область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
  • множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
  • функция y=x2n  четная, так как x2n=(-x)2n
  • функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежуткеx>0.
График функции y=x2n имеет такой же вид, как например график функции y=x4.


        2. Показатель p=2n-1- нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция  y=x2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

  • область определения - множество R;
  • множество значений - множество R;
  • функция y=x2n-1 нечетная, так как (-x)2n-1=x2n-1;
  • функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x3.
       3.Показатель p=-2n, где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x-2n=1/x2n обладает следующими свойствами:
  • область определения - множество R, кроме x=0;
  • множество значений - положительные числа y>0;
  • функция  y=1/x2n четная, так как 1/(-x)2n=1/x2n;
  • функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.
График функции y=1/x2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x2.

       4.Показатель p=-(2n-1), где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x-(2n-1) обладает следующими свойствами:

  • область определения - множество R, кроме x=0;
  • множество значений - множество R, кроме y=0;
  • функция y=x-(2n-1) нечетная, так как (-x)-(2n-1) =-x-(2n-1);
  • функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.
График функции y=x-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x3.