среда, 12 декабря 2012 г.

[Билет 14] Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Доказательство признака скрещивающихся прямых.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.
  • Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.
  • Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.
  • В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).
ПРИМЕР:

ЗАДАЧА 434 В плоскости лежит треугольник ABC, a

В плоскости лежит треугольник ABC, a точка D не находится в этой плоскости. Точки М, N и K соответсвенно серединные точки отрезков DA, DB и DC Смотреть решение...


Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.



На рис. 26 прямая a лежит в плоскости, а прямая с пересекает в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

 На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость a (альфа) || b (в плоскости B (бета) указана прямая a1 || b). 

Свойства параллельных прямых


Теорема 3.2. 
Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.
Доказательство
Пусть прямые и одновременно параллельны прямой . Допустим, что не параллельна , тогда прямая пересекается с прямой в некоторой точке , не лежащей на прямой по условию. Следовательно, мы имеем две прямые и , проходящие через точку , не лежащую на данной прямой , и одновременно параллельные ей. Это противоречит аксиоме 3.1. Теорема доказана.
Теорема 3.3. 
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
Доказательство
Пусть ( AB ) данная прямая, – точка, не лежащая на ней. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости. Точка лежит в одной из них. В соответствии с аксиомой 3.2 можно от луча С отложить угол ( ACD ), равный углу ( CAB ), в другую полуплоскость.  ACD и  CAB – равные внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей ( AC ) Тогда в силу теоремы 3.1 ( AB ) || ( CD ). С учетом аксиомы 3.1. Теорема доказана.
Свойство параллельных прямых задается следующей теоремой, обратной к теореме 3.1.
Теорема 3.4. 
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.
Доказательство
Пусть ( AB ) || ( CD ). Предположим, что  ACD  ≠   BAC . Через точку проведем прямую AE так, что  EAC  =   ACD . Но тогда по теореме 3.1 ( AE ) || ( CD ), а по условию – ( AB ) || ( CD ). В соответствии с теоремой 3.2 ( AE ) || ( AB ). Это противоречит теореме 3.3, по которой через точку , не лежащую на прямой CD , можно провести единственную прямую, параллельную ей. Теорема доказана.
 Рисунок 3.3.1.
На основании этой теоремы легко обосновываются следующие свойства.
  • Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.
  • Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Следствие 3.2. 
Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Понятие параллельности позволяет ввести следующее новое понятие, которое в дальнейшем понадобится в 11-й главе.
Два луча называются одинаково направленными , если существует такая прямая, что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой, во-вторых, лучи лежат в одной полуплоскости относительно этой прямой.
Два луча называются противоположно направленными , если каждый из них одинаково направлен с лучом, дополнительным к другому.
Одинаково направленные лучи AB и CD будем обозначать:  а противоположно направленные лучи AB и CD – 

 Рисунок 3.3.2. 


Признак скрещивающихся прямых.
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.
  1. Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

    – прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;
    – прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;
    – прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;
    – прямые совпадают.

    Взаимное расположение прямых и их направляющие векторы
    Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

    l_{1}\colon~\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}, \quad l_{2}\colon~\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}\,.

    где M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),\,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) — точки, принадлежащие прямым l_{1} и l_{2} соответственно, a \vec{p}_{1}=a_{1}\vec{i}+b_{1}\vec{j}+c_{1}\vec{k}, \vec{p}_{2}=a_{2}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+c_{2}\vec{k} — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через \vec{m}=\overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(x_{2}-x_{1})\vec{i}+(y_{2}-y_{1})\vec{j}+(z_{2}-z_{1})\vec{k} вектор, соединяющий заданные точки.

    Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых l_{1} и l_{2} соответствуют следующие признаки:

    – прямые l_{1} и l_{2} скрещивающиеся \Leftrightarrow векторы \vec{m},\,\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2} не компланарны;

    – прямые l_{1} и l_{2} пересекаются \Leftrightarrow векторы \vec{m},\,\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2} компланарны, а векторы \vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2} не коллинеарны;

    – прямые l_{1} и l_{2} параллельные \Leftrightarrow векторы \vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2} коллинеарны, а векторы \vec{m},\,\vec{p}_{2} не коллинеарны;

    – прямые l_{1} и l_{2} совпадают \Leftrightarrow векторы \vec{m},\,\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2} коллинеарны.

    Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

    \left\langle\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\right\rangle= \,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}c} x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\ a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2} \end{array}\!\!\vline\,.

    Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

    – прямые l_{1} и l_{2} скрещивающиеся \Leftrightarrow определитель отличен от нуля;

    – прямые l_{1} и l_{2} пересекаются \Leftrightarrow определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е. \operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{pmatrix}=2\,;

    – прямые l_{1} и l_{2} параллельные \Leftrightarrow вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. \operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{pmatrix}=1\,, а первые две строки не пропорциональны, т.е. \operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\end{pmatrix}=2\,;

    – прямые l_{1} и l_{2} совпадают \Leftrightarrow все строки определителя пропорциональны, т.е. \operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{pmatrix}=1\,.


Доказательство признака скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.

Доказательство

 Пусть a принадлежит α, b пересекается α = A, A не принадлежит a (чертеж 2.1.2). Допустим, что прямые a и b не скрещивающиеся, то есть они пересекаются. Тогда существует плоскость β, которой принадлежат прямые a и b. В этой плоскости β лежат прямая a и точка A. Поскольку прямая a и точка A вне ее определяют единственную плоскость, то β = α. Но b водит β и b не принадлежит α, следовательно, равенство β = α невозможно.