среда, 12 декабря 2012 г.

[Билет 19] Основное тригонометрическое тождество. Формулы сложения. Формулы приведения. Тригонометрические формулы двойного угла, понижения степени и половинного аргумента. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Основное тригонометрическое тождество.

Для любого угла  α справедливо равенство  sin^2 α + cos^2 α = 1, называемое основным тригонометрическим тождеством.

Доказательство.



Формулы сложения.

Для любых углов α и β справедливы равенства:
cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β
Чтобы получить эту формулу рассмотрим единичный тригонометрическую окружность с двумя радиус векторами OA и OB, соответствующими углам α и β.

По определению тригонометрических функций координаты векторов: ОА (cos α, sin α) и ОВ (cos β, sin β). Вычислим скалярное произведение этих векторов: ОА × ОВ = |ОА| × |ОВ| × cos (α+β) = cos (α+β)

Вычислим скалярное прозведение векторов через координаты: ОА × ОВ = cos α cos β – sin α sin β. Так получается искомая формула: cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Чтобы получить эту формулу нужно в предыдущей формуле заменить β на –β.
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Эта формула получается через использование формул приведения в предыдущей формуле.
sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Эта формула получается через замену β на –β в предыдущей формуле.
Для любых углов α и β таких, что α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α + β ≠ π/2 + πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:
tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 – tg α tg β)
Эта формула получается через вычисления частного sin(α + β) и cos(α + β)
Для любых углов α и β таких, что α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α – β ≠ π/2 + πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:
tg(α – β) = (tg α – tg β)/(1 + tg α tg β)
Эта формула получается через вычисления частного sin(α – β) и cos(α – β)
Для любых углов α и β таких, что α ≠  πk, β ≠  πn, α + β ≠ πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:
ctg(α + β) = (ctg α ctg β – 1)/(ctg β + ctg α)
Эта формула получается через вычисления частного cos(α + β) и sin(α + β)
Для любых углов α и β таких, что α ≠  πk, β ≠  πn, α – β ≠ πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:
ctg(α – β) = (ctg α ctg β + 1)/(ctg β – ctg α)
Эта формула получается через вычисления частного cos(α – β) и sin(α – β)

Формулы приведения.


Если мы откладываем угол от вертикальной оси, лошадь говорит «да» (киваем головой вдоль оси OY)  и приводимая функция меняет свое название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.
Если мы откладываем угол от горизонтальной оси, лошадь говорит «нет» (киваем головой вдоль оси OХ)  и приводимая функция  не меняет свое название.
Знак правой части равенства совпадает со знаком приводимой функции, стоящей в левой части равенства.
1 четверть: sin:+ cos:+ tg, ctg:+
2 четверть: sin:+ cos:- tg, ctg:-
3 четверть: sin:- cos:- tg, ctg:+
4 четверть: sin:- cos:+ tg, ctg:-





Тригонометрические формулы двойного угла, понижения степени и половинного аргумента.

Формулы двойного угла

  • cos 2α = cos² α - sin² α
  • cos 2α = 2cos² α - 1
  • cos 2α = 1 - 2sin² α
  • sin 2α = 2sin α · cos α
  • tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
  • ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)
Понижение степени

cos2t=21+cos2tsin2t=21cos2t

Формулы половинного аргумента





Универсальная тригонометрическая подстановка.

Определение. Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.


Эти формулы позволяют выразить любую тригонометрическую функцию через тангенс половинного угла. Это дает возможность свести любое тригонометрическое уравнение к алгебраическому относительно этого тангенса. Пусть t = 1, тогда
2,  3,  4,  5.
При использовании этих формул следует иметь в виду, что они имеют смысл только тогда, когда определен тангенс половинного угла, т.е. при 6; в формуле для tg α требуется, кроме того, чтобы не равнялось 1, а в формуле для ctg α – чтобы не равнялось 0.