пятница, 14 декабря 2012 г.

[Билет 25] Свойства и график квадратичной функции. Формулы координат вершины параболы. Исследование графика квадратного трёхчлена в зависимости от его коэффициентов.

Свойства и график квадратичной функции.

y = ax2 + bx + c, где a 0.
График квадратичной функции - парабола. 
Свойства функции и вид её графика определяются, в основном, значениями коэффициента a
и дискриминанта D = b2 - 4ac
a > 0, D > 0a > 0, D = 0a > 0, D < 0
a < 0, D > 0a < 0, D = 0a < 0, D < 0


РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
  1. ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА:
  2. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ
    при D > 0 y = ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
    при D = 0 y = ax2 + bx + c = a(x - x1)2
    при D < 0: разложить на множители нельзя

СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ


  • ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R

  • ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:
    при a > 0 [-D/(4a);)
    при a < 0 (-;-D/(4a)]
  • ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:
    при b = 0, то функция четная
    при b  0, то функция ни четная, ни нечетная
  • НУЛИ:
    при D > 0 два нуля: 

    при D = 0 один нуль: x1 = -b/(2a)
    при D < 0 нулей нет
  • ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:


    если a > 0, D = 0, то y > 0 при x  (-;x1)U(x1;)

    если a > 0, D < 0, то y > 0 при x  R



    если a < 0, D = 0, то y < 0 при x  (-;x1)U(x1;)

    если a < 0, D < 0, то y < 0 при x  R
  • ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:



  • ЭКСТРЕМУМЫ:

    при a > 0 xmin = -b/(2aymin = -D/(4a)

    при a < 0 xmax = -b/(2aymax = -D/(4a


Формулы координат вершины параболы.

~x_A=-\frac{b}{2a},\;y_A=-\frac{D}{4a}, где  D=b^2-4ac


Исследование графика квадратного трёхчлена в зависимости от его коэффициентов.


A: направление ветвей. Если A>0 - вверх, A<0 - вниз

С: пересечение с OY - (0; C)

B:  положение вершины

слева от OY: -B/2A<0, тогда A>0 и В>0, или A<0 и B<0

справа от OY: -B/2A>0, то А>0 и B<0, или A<0 and B>0