пятница, 14 декабря 2012 г.

[Билет 30] Многочлен как функция и его график. Обобщённая теорема Виета.

Многочлен как функция и его график.


Определение. Функция f(x) действительной или комплексной переменной x называется многочленом, если она может быть представлена в виде:

f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-2x2+an-1x+an

Где n - любое натуральное число или 0, а a0, a1, ..., an - какие-то действительные числа, называемые коэффициентами многочлена. 

Утверждение. Любая непрерывная кривая, имеющая на некотором промежутке a ≤ x ≤ b 
с каждой из прямых, параллельных Oy, в точности одну общую точку, может быть приближенно задана как график функции y= Pn(x), где Pn(x) — многочлен.

Обобщённая теорема Виета.

Пусть х1; х2… хn – корни многочлена
Р(х) = a0xn + a1xn-1 + an-1x + an
тогда
- рациональные корни многочлена
Р(х) = a0xn + a1xn-1 + an-1x + an с целыми коэффициентами имеют вид x = , где m – делитель свободного члена an, p – делитель старшего коэффициента a0
- приведенный многочлен с целыми коэффициентами (a0 = 1) не может иметь дробных  корней. Целые корни такого многочлена являются делителями его свободного члена.

Пример:
 x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+d=0

x_1+x_2+x_3+x_4=-p

x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=q

x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4=-r

x_1x_2x_3x_4=d