среда, 12 декабря 2012 г.

[Билет 13] Неопределяемые понятия и аксиомы стереометрии. Простейшие следствия из аксиом.

Неопределяемые понятия и аксиомы стереометрии.

Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Аксиома 2. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.

Аксиома 3. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей.

Аксиома 4. Если прямая проходит через 2 точки плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Определение. Прямая и плоскость, имеющие ровно одну общую точку, называются пересекающимися.

Аксиома 5. Если две плоскости имеют общую точку, то и пересечение этих плоскостей есть их общая прямая.

Определение. Две плоскости, имеющие общую точку, называются пересекающимися.

Аксиома 6. Любая плоскость a разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным множествам разделены плоскостью a; b) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью a.

Аксиома 7. Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, проходящей через эти точки.


Простейшие следствия из аксиом.


Теорема 1. Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 2. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 3. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.