вторник, 11 декабря 2012 г.

[Билет 3] Операции разности и дополнения множеств, их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.

Операции разности и дополнения множеств, их свойства.

Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Разность между универсальным множеством U и множеством A называется дополнением множества A в U и обозначается A (c палочкой вверху)

Свойства разности:

Пусть A,\;B,\;C,\;D — произвольные множества.
  • Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:
A\setminus A=\varnothing.
  • Свойства пустого множества относительно разности:
\varnothing\setminus A=\varnothing;
A\setminus\varnothing=A.
  • Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:
A\setminus B\subset A.
  • A\cup(B\setminus A)=A\cup B. Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).
  • A\setminus B=A\setminus(A\cap B).
  • Разность не пересекается с вычитаемым:
A\cap(B\setminus A)=\varnothing.
  • Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:
A\setminus B=\varnothing\Leftrightarrow A\subset B.
  • Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:
A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C);
A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C).
  • (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C);
  • A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup(A\cap C);
  • A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;
  • (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap(C\setminus A);
  • (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A, если C\cap A=\varnothing.
  • Если A\subset B и C\subset  D, то (A\setminus D)\subset(B\setminus C);
  • Если A\subset B, то для любого C выполняется (C\setminus B)\subset(C\setminus A). Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если a\leqslant b, то для любого c справедливо (c-b)\leqslant(c-a).

Свойства дополнений

  • Законы дополнения:
  • A \cup A^{\complement} = X;
  • A \cap A^{\complement} = \emptyset;
В частности, если оба A и A^{\complement} непусты, то \left\{A,A^{\complement}\right\} является разбиением X.
  • X^{\complement} = \emptyset;
  • \emptyset^{\complement}=X;
  • (A \subset B) \Leftrightarrow \left(B^{\complement} \subset A^{\complement}\right).
  • Операция дополнения является инволюцией:
\left(A^{\complement}\right)^{\complement} = A.
  • Законы де Моргана:
  • (A \cup B)^{\complement} = A^{\complement} \cap B^{\complement};
  • (A \cap B)^{\complement} = A^{\complement} \cup B^{\complement}.
  • Законы разности множеств:
  • A \setminus B = A \cap B^{\complement};
  • (A \setminus B)^{\complement} = A^{\complement} \cup B.

Диаграммы Эйлера-Венна.