[Билет 24] Квадратичная функция. Выделение полного квадрата. Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа. Прямая и обратная теоремы Виета. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.

Квадратичная функция.

Функция, заданная формулой y = ax2 + bx + c , где x и y - переменные, а a, b, c - заданные числа, причем a  не равно 0 ,
называется квадратичной функцией

Выделение полного квадрата.

Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа.

 – дискриминант квадратного уравнения.

Прямая и обратная теоремы Виета.

3. Теорема Виета Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Доказательство. Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член - буквой q.Пусть D>0 .Тогда это уравнение имеет два корня: и найдём сумму и произведение корней:

3.1 Теорема, обратная теореме Виета Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения Доказательство. По условию m+n=-p,а mn=q. Значит, уравнениеможно записать в виде: Подставив вместо x число m, получим: Значит, число m является корнем уравнения. Аналогично можно показать, что число n так же является корнем уравнения:

Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.

Теорема. Пусть

x₁ и x₂ - корни квадратного трехчлена x² + px + q. Тогда этот трехчлен раскладывается на линейные множители следующим образом: x² + px + q = (x - x₁) (x - x₂).

Доказательство. Подставим вместо

p и q их выражения через x₁ и x₂ и воспользуемся способом группировки:

x² + px + q = x² - (x₁ + x₂) x + x₁ x₂ = x² - x₁ x - x₂ x + x₁ x₂ = x (x - x₁) - x₂ (x - x₁) = = (x - x₁) (x - x₂). Теорема доказана. 

Квадратное уравнение. График квадратного трехчлена

• Уравнение вида

называется квадратным уравнением. Число D = b² - 4ac — дискриминант этого уравнения.
Если

то числа

являются корнями (или решениями) квадратного уравнения. Если D = 0, то корни совпадают:

Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Справедливы формулы:

— формулы Виета; а
ах² + bх + с = а(х - х₁)(х - х₂) —
формула разложения на множители.
Графиком квадратичной функции (квадратного трехчлена) у = ах² + bх + с является парабола. Расположение параболы в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D приведено на рис.

Числа х₁ и х₂ на оси абсцисс — корни квадратного уравнения ах² + bх + + с = 0; координаты вершины параболы (точки А) во всех случаях

точка пересечения параболы с осью ординат имеет координаты (0; с).
Подобно прямой и окружности парабола разбивает плоскость на две части. В одной из этих частей координаты всех точек удовлетворяют неравенству у > ах² + bх + с, а в другой — противоположному. Знак неравенства в выбранной части плоскости определяем, найдя его в какой-либо точке этой части плоскости.
Рассмотрим понятие касательной к параболе (или окружности). Прямую у - kx + 1 назовем касательной к параболе (или окружности), если она имеет с этой кривой одну общую точку.

В точке касания М(х; у) для параболы выполняется равенство kx +1 = ах² + bх + с (для окружности — равенство (х - х₀)² + (kx + 1 - у₀)² - R²). Приравнивая дискриминант полученного квадратного уравнения нулю (так как уравнение должно иметь единственное решение), приходим к условиям для вычисления коэффициентов касательной.