ФизМат: [Билет 12] Период, основной период функции. Теоремы о периодических функциях. Примеры.

среда, 12 декабря 2012 г.

[Билет 12] Период, основной период функции. Теоремы о периодических функциях. Примеры.

Период, основной период функции.

Период функции – положительное число Т, обладающее двумя свойствами:
а) вместе с числом х в область определения данной функции входят также числа х + Т и х – Т;
б) для любого значения х из области определения функции справедливы равенства f(x – T) = f(x) = f(x + T).
Наименьшее из чисел Т, обладающих указанными свойствами, называется основным периодом функции.

Теоремы о периодических функциях. Примеры.

Теорема. Если число T - основной период f(x), то число T/k - основной период для f(kx), где k не равно 0.
Доказательство. Пусть Т - основной период f(x), тогда f(x)=f(x+T), рассмотрим f(kx) = f(kx+T)=f(k(x+T/k)) => T/k -период, ч.т.д.

Теорема 1. Если числа

являются периодами функции f , то и их сумма

и разность

также являются периодами функции f .

Следствие. Если

– период функции f , то число

, где

, – также период этой функции.

Теорема 2. Если

– наименьший положительный период функции f то любой период T этой функции представим в виде

, где

Теорема 3. Если

– наименьшие положительные периоды функций

, то эти функции имеют общий период тогда и только тогда, когда числа

соизмеримы, т.е. когда отношение

– рационально.

Следствие. Если наименьшие положительные периоды функций

соизмеримы, т.е. отношение

– рационально, то и сумма (произведение) этих функций – также периодическая функция.

Замечание. Если отношение наименьших периодов всюду определенных и непрерывных функций иррационально, то сумма и произведение этих функций – функции непериодические (без доказательства).

Теорема 4. Если

– периодическая функция с периодом T, то какова бы ни была функция F, сложная функция

– также функция периодическая, причем число T является и ее периодом.

Теорема 5. Если

– периодическая функция с периодом T, то любая сложная функция вида

– также функция периодическая, причем ее периодом является число

Теорема. $2\pi$ — главный период функций синус и косинус.

Доказательство. 1.
$\forall x\in\mathbb{R} \begin{array}{l}<br /> \sin(x+2\pi)=\sin x,\\<br /> \cos(x+2\pi)=\cos x.<br /> \end{array}$

Значит, $2\pi$ — период функций синус и косинус.

2. Так как решениями уравнения $\sin x=1$ являются числа $\pi/2+2\pi k$ , $k\in\mathbb{Z}$ и только эти числа и так как разность между любыми двумя из этих чисел по модулю не меньше $2\pi$ , то синус не может иметь положительного периода, меньшего $2\pi$ .

Аналогично доказательство проводится для косинуса.

Теорема. Главный период функций тангенс и котангенс — $\pi$ .

Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы.

среда, 12 декабря 2012 г.

[Билет 12] Период, основной период функции. Теоремы о периодических функциях. Примеры.

среда, 12 декабря 2012 г.