ФизМат: [Билет 34] Степень с рациональным показателем, её свойства. Степень с иррациональным показателем. Показательная функция.

Степень с рациональным показателем, её свойства.

Выражение аⁿ определено для всех а и n, кроме случая а=0 при n≤0. Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел а, b и любых целых чисел m и п справедливы равенства:

a^m*aⁿ=a^m+n; a^m:аⁿ=a^m-n (а≠0); (а^m)ⁿ = а^mn; (ab) ⁿ = aⁿ*bⁿ; $свойтство степеней$ (b≠0); а¹=а; а⁰=1 (а≠0).

Отметим также следующее свойство:

Если m>n, то а^m>аⁿ при а>1 и а^m<аⁿ при 0<а<1.

В этом пункте мы обобщим понятие степени числа, придав смысл выражениям типа 2^0.3, 8^5/7, 4^-1/2 и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности, n-я степень числа $a в степени m на n$ должна быть равна а^m. Действительно, если свойство

(a^p)^q=a^pq

выполняется, то

$равенство$

Последнее равенство означает (по определению корня n-й степени), что число $a в степени m на n$ должно быть корнем п-й степени из числа а^m.

Определение.

Степенью числа а>0 с рациональным показателем r= $m на n$ , где m — целое число, а n — натуральное (n > 1), называется число $корень n-ой степени из a в степени m$

Итак, по определению

$по определению$ (1)

Степень числа 0 определена только для положительных показателей; по определению 0^r = 0 для любого r>0.

Степень с иррациональным показателем.

Иррациональное число $r$ можно представить в виде предела последовательности рациональных чисел $r_1, r_2, r_3,...,r_n,...$ : $\lim_{n\to\infty}r_n = r$ .

Пусть $a > 0$ . Тогда существуют степени с рациональным показателем $a^{r_1}, a^{r_2}, a^{r_3},...,a^{r_n},...$ . Можно доказать, что последовательность этих степеней является сходящейся. Предел этой последовательности называется степенью с основанием $a$ и иррациональным показателем $r$ : $a^r = \lim_{n\to\infty}a^{r_n}$ .

Зафиксируем положительное число а и поставим в соответствие каждому числу $число$ число $число a$ . Тем самым получим числовую функцию f(x) = a^x, определенную на множестве Q рациональных чисел и обладающую ранее перечисленными свойствами. При а=1 функция f(x) = a^xпостоянна, так как 1^x=1 для любого рационального х.

графики функций

Нанесем несколько точек графика функции у =2^x предварительно вычислив с помощью калькулятора значения 2^x на отрезке [—2; 3] с шагом 1/4 (рис. 1, а), а затем с шагом 1/8 (рис. 1, б).Продолжая мысленно такие же построения с шагом 1/16, 1/32 и т. д., мы видим, что получающиеся точки можно соединить плавной кривой, которую естественно считать графиком некоторой функции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой и принимающей значения $2 в степени m на n$ в рациональных точках $число x$ (рис. 1, в). Построив достаточно большое число точек графика функции $функция y$ , можно убедиться в том, что аналогичными свойствами обладает и эта функция (отличие состоит в том, что функция $функция y$ убывает на R).

Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить числа 2^α и $одна вторая в степени альфа$ для каждого иррационального α, что функции , задаваемые формулами y=2^x и $функция y$ будут непрерывными, причем функция у=2^x возрастает, а функция $функция y$ убывает на всей числовой прямой.

Опишем в общих чертах, как определяется число a^α для иррациональных α при а>1. Мы хотим добиться того, чтобы функция у = a^x была возрастающей. Тогда при любых рациональных r₁ и r₂, таких, что r₁<α<r₂, значение a^α должно удовлетворять неравенствам a^r₁<а^α<а^r₁.

Выбирая значения r₁ и r₂, приближающиеся к х, можно заметить, что и соответствующие значения a^r₁ и a^r₂ будут мало отличаться. Можно доказать, что существует, и притом только одно, число у, которое больше всех a^r₁ для всех рациональных r₁и меньше всех a^r₂ для всех рациональных r₂. Это число у по определению есть а^α.

Например, вычислив с помощью калькулятора значения 2^x в точках х_n и х`_n, где х_n и х`_n — десятичные приближения числа $корень из трех$ мы обнаружим, что, чем ближе х_n и х`_n к $корень из трех$ , тем меньше отличаются 2^x_n и 2^x`_n.

Так как $неравенство$ , то

$неравенство$

$неравенство$ и, значит,

$неравенство$

Аналогично, рассматривая следующие десятичные приближения $корень из трех$ по недостатку и избытку, приходим к соотношениям

$неравенство$ ;

$неравенство$ ;

$неравенство$ ;

$неравенство$ ;

$неравенство$ .

Значение $неравенство$ вычисленное на калькуляторе, таково:

$неравенство$ .

Аналогично определяется число a^α для 0<α<1. Кроме того полагают 1^α=1 для любого α и 0^α=0 для α>0.

Показательная функция.

При a > 0, a

= 1, определена функция y = a ^x, отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функциейс основанием a.

Основные свойства показательной функции y = a ^xпри a> 1:

Область определения функции - вся числовая прямая.
Область значений функции - промежуток (0;+).
Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x₁< x_{2 ,}то a^x^₁< a^x^₂ .
При x = 0 значение функции равно 1.
Если x > 0 , то a ^x > 1 и если x < 0, то 0 < a < 1.

Графики показательных функций с основанием 0 < a < 1 и a > 1 изображены на рисунке.

Основные свойства показательной функции y = a ^xпри 0 < a < 1:

Область определения функции - вся числовая прямая.
Область значений функции - промежуток (0;+).
Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x₁< x_{2 ,}то a^x^₁> a^x^₂ .
При x = 0 значение функции равно 1.
Если x > 0 , то 0 < a < 1 и если x < 0, то a ^x > 1.