пятница, 14 декабря 2012 г.

[Билет 34] Степень с рациональным показателем, её свойства. Степень с иррациональным показателем. Показательная функция.

Степень с рациональным показателем, её свойства.

Выражение аn определено для всех а и n, кроме случая а=0 при n≤0. Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел а, b и любых целых чисел m и п справедливы равенства:

am*an=am+n;
amn=am-n (а≠0);
m)n = аmn;
(ab) n = an*bn;
свойтство степеней(b≠0);
а1=а; а0=1 (а≠0).


Отметим также следующее свойство:

Если m>n, то аmn при а>1 и аmn при 0<а<1.

В этом пункте мы обобщим понятие степени числа, придав смысл выражениям типа 20.3, 85/7, 4-1/2 и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности, n-я степень числа a в степени m на n должна быть равна аm. Действительно, если свойство

(ap)q=apq


выполняется, то

равенство


Последнее равенство означает (по определению корня n-й степени), что число a в степени m на n должно быть корнем п-й степени из числа аm.

Определение. 

Степенью числа а>0 с рациональным показателем r=m на n, где m — целое число, а n — натуральное (n > 1), называется число корень n-ой степени из a в степени m

Итак, по определению

по определению (1)


Степень числа 0 определена только для положительных показателей; по определению 0r = 0 для любого r>0.

Степень с иррациональным показателем.

Иррациональное число r можно представить в виде предела последовательности рациональных чисел r_1, r_2, r_3,...,r_n,...: \lim_{n\to\infty}r_n = r.
Пусть a > 0. Тогда существуют степени с рациональным показателем a^{r_1}, a^{r_2}, a^{r_3},...,a^{r_n},.... Можно доказать, что последовательность этих степеней является сходящейся. Предел этой последовательности называется степенью с основанием a и иррациональным показателем ra^r = \lim_{n\to\infty}a^{r_n}.
Зафиксируем положительное число а и поставим в соответствие каждому числу числочисло число a. Тем самым получим числовую функцию f(x) = ax, определенную на множестве Q рациональных чисел и обладающую ранее перечисленными свойствами. При а=1 функция f(x) = axпостоянна, так как 1x=1 для любого рационального х.

графики функций


Нанесем несколько точек графика функции у =2x предварительно вычислив с помощью калькулятора значения 2x на отрезке [—2; 3] с шагом 1/4 (рис. 1, а), а затем с шагом 1/8 (рис. 1, б).Продолжая мысленно такие же построения с шагом 1/16, 1/32 и т. д., мы видим, что получающиеся точки можно соединить плавной кривой, которую естественно считать графиком некоторой функции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой и принимающей значения 2 в степени m на n в рациональных точках число x (рис. 1, в). Построив достаточно большое число точек графика функции функция y, можно убедиться в том, что аналогичными свойствами обладает и эта функция (отличие состоит в том, что функция функция y убывает на R).

Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить числа 2α и одна вторая в степени альфадля каждого иррационального α, что функции , задаваемые формулами y=2x и функция y будут непрерывными, причем функция у=2x возрастает, а функция функция y убывает на всей числовой прямой.

Опишем в общих чертах, как определяется число aα для иррациональных α при а>1. Мы хотим добиться того, чтобы функция у = ax была возрастающей. Тогда при любых рациональных r1 и r2, таких, что r1<α<r2, значение aα должно удовлетворять неравенствам ar1αr1.

Выбирая значения r1 и r2, приближающиеся к х, можно заметить, что и соответствующие значения ar1 и ar2 будут мало отличаться. Можно доказать, что существует, и притом только одно, число у, которое больше всех ar1 для всех рациональных r1и меньше всех ar2 для всех рациональных r2. Это число у по определению есть аα.

Например, вычислив с помощью калькулятора значения 2x в точках хn и х`n, где хn и х`n — десятичные приближения числакорень из трех мы обнаружим, что, чем ближе хn и х`n к корень из трех, тем меньше отличаются 2xn и 2x`n.

Так как неравенство, то

неравенство


неравенствои, значит,

неравенство


Аналогично, рассматривая следующие десятичные приближения корень из трех по недостатку и избытку, приходим к соотношениям

неравенство;


неравенство;


неравенство;


неравенство;


неравенство.


Значение неравенство вычисленное на калькуляторе, таково: 

неравенство.


Аналогично определяется число aα для 0<α<1. Кроме того полагают 1α=1 для любого α и 0α=0 для α>0.

Показательная функция.


При a > 0, a =  1, определена функция y = a x , отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функциейс основанием a
Основные свойства показательной функции = a x при a> 1:
  • Область определения функции - вся числовая прямая.
  • Область значений функции - промежуток (0;+).
  • Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1< x2 , то ax1 < ax2 .
  • При x = 0 значение функции равно 1.
  • Если > 0 , то x > 1 и если x < 0, то 0 < a < 1.
Графики показательных функций с основанием 0 < a < 1 и a > 1 изображены на рисунке.
Основные свойства показательной функции = a x при 0 < a < 1:
  • Область определения функции - вся числовая прямая.
  • Область значений функции - промежуток (0;+).
  • Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1< x2 , то ax1 > ax2 .
  • При x = 0 значение функции равно 1.
  • Если > 0 , то 0 < a < 1 и если x < 0, то x > 1.
  • К общим свойствам показательной функции как при0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:
    • axax2 = ax1x2, для всех x1 и x2.
    • ax=(ax)1=1ax  для любого x.
    • nax=axn  для любого x и любого nNn=1 .
    • (ab)abx для любых a, b > 0; a,b=1 .
    • (ba)x=bxax  для любых a, b > 0; a,b=1 .
    • axax2, то x1 x2.