вторник, 11 декабря 2012 г.

[Билет 4] Упорядоченные пары. Декартово произведение двух и более множеств, его свойства.

Упорядоченные пары.

Упорядоченной парой называется объект вида (a, b), который состоит из 2 не обязательно разных элементов и в котором определено какой из этих элементов первый, а какой второй. .

Декартово произведение двух и более множеств, его свойства.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А x В. Таким образом А x В = {(x;y) | x принадлеж A, y принадлеж B}.

Определение 1.3. Множество всех кортежей длины n на множествах A_1,\ldots,A_n называют декартовым (прямым) произведением множеств A_1,\ldots,A_n и обозначают A_1\times\ldots\times A_n.

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.


Рассмотрим следующий пример. Известно, что А x В={(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, а вторая – множеству В, то данные множества имеют следующий вид: А={2, 3}, B={3, 5, 6}.


Перечислим элементы, принадлежащие множеству АxВ, если
А={a, b, c, d}, B=A. Декартово произведение АxВ={(a, a), (a, b), (a, c),
(a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) ,(d, c), (d, d)}.



Свойства

1) A\times (B\cup C)= (A\times B)\cup (A\times C);
2) A\times (B\cap C)= (A\times B)\cap (A\times C);
3) A\times \varnothing= \varnothing\times A= \varnothing.

Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Докажем, например, первое тождество. Если (x,y)\in A\times (B\cup C), то x\in A и y\in B\cup C. Из того, что y\in B\cup C, следует y\in B или y\in C. Если y\in B, то (x,y)\in A\times B, а если y\in C, то (x,y)\in A\times C. Итак, (x,y)\in A\times B или (x,y)\in A\times C, то есть (x,y)\in (A\times B)\cup (A\times C). Следовательно,

A\times (B\cup C)\subseteq (A\times B)\cup (A\times C).