Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала к приближённым вычислениям (Примеры).

Инвариантность формы дифференциала. 

Формула дифференциала функции имеет вид

,

где  - дифференциал  независимой переменной.

Пусть теперь дана сложная (дифференцируемая) функция , где , . Тогда по формуле производной сложной функции находим

,

так как .

Итак, , т.е. формула дифференциала имеет один и тот же вид для независимой переменной  и для промежуточного аргумента , представляющего собой дифференцируемую функцию от .

Это свойство принято называть свойством инвариантности формулы или формы дифференциала. Заметим, что производная этим свойством не обладает.

Применение дифференциала к приближённым вычислениям (Примеры).

Приращение  функции  представимо в виде:

где функция  является б.м. функцией при стремлении аргумента  к нулю. Так как , то

В силу того, что второе слагаемое  является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Пример

Задание. Вычислить приближенно  , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию . Необходимо вычислить ее значение в точке  . Представим данное значение в виде следующей суммы:

Величины  и  выбираются так, чтобы в точке  можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а  было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что  , то есть , .

Вычислим значение функции  в точке :

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение :

Тогда

Итак,

Ответ. 

Задание.	С помощью дифференциала вычислить приближенно
Решение.	Для вычисления данного значения применим формулу из теории Введем в рассмотрение функцию , а заданную величину представим в виде  , тогда Вычислим Подставляя все в формулу, окончательно получим
Ответ.

Дифференциал – главная линейная часть приращения функции. Геометрический смысл и правила нахождения дифференциала.

Дифференциал – главная линейная часть приращения функции. 

Дифференциалом в точке x, соответствующему называется главная линейная часть приращения функции. .
То есть если существует производная, то  при , и дифференциал . Когда x=const, то переменной является  и дифференциал будет линейной функцией.


Геометрический смысл и правила нахождения дифференциала.

Дифференциал - приращение, снимаемое с касательной в данной точке. При . Если , то . Тогда , или .

Дифференцируемость функции в точке. Дифференцируемость и непрерывность (с доказательством).

Дифференцируемость функции в точке. 

Определение Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Дифференцируемость и непрерывность (с доказательством).

Теорема
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.

Доказательство 

Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx).

Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A .

Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке.

Теорема

Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство

Справедливость утверждения следует из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx  и limΔx→0Δy=0, а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. 

Обратное утверждение не верно.

Например, функция y=∣x∣  непрерывна в точкеx=0, но не дифференцируема в этой точке. 

Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.