вторник, 3 декабря 2013 г.

Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала к приближённым вычислениям (Примеры).

Инвариантность формы дифференциала. 


Формула дифференциала функции имеет вид
,
где  - дифференциал  независимой переменной.
Пусть теперь дана сложная (дифференцируемая) функция , где Тогда по формуле производной сложной функции находим
,
так как .
Итак, , т.е. формула дифференциала имеет один и тот же вид для независимой переменной  и для промежуточного аргумента , представляющего собой дифференцируемую функцию от .
Это свойство принято называть свойством инвариантности формулы или формы дифференциала. Заметим, что производная этим свойством не обладает.

Применение дифференциала к приближённым вычислениям (Примеры).


Приращение  функции  представимо в виде:
где функция  является б.м. функцией при стремлении аргумента  к нулю. Так как , то
В силу того, что второе слагаемое  является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому
А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.
Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:
Пример
Задание. Вычислить приближенно  , заменяя приращение функции ее дифференциалом.
Решение. Рассмотрим функцию . Необходимо вычислить ее значение в точке  . Представим данное значение в виде следующей суммы:
Величины  и  выбираются так, чтобы в точке  можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а  было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что  , то есть .
Вычислим значение функции  в точке :
Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение :
Тогда
Итак,
Ответ. 
Задание.
С помощью дифференциала вычислить приближенно 
Решение.
Для вычисления данного значения применим формулу из теории
Введем в рассмотрение функцию , а заданную величину представим в виде  , тогда
Вычислим
Подставляя все в формулу, окончательно получим
Ответ.