понедельник, 9 декабря 2013 г.

Прямая в пространстве. Прямая как пересечение двух плоскостей. Виды уравнений прямой (векторное, параметрические, канонические).

Прямая в пространстве. 

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.


Прямая как пересечение двух плоскостей. 

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей -- $ {A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0}$ и $ {A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0}$ , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.\end{array}\right.$(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Виды уравнений прямой (векторное, параметрические, канонические).

Параметрическое
Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид формула, где x1,y1 и z1 – координаты некоторой точки прямой, axay и az (axay и az одновременно не равны нулю) - соответствующие координаты направляющего вектора прямой, а формула - некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.
При любом значении параметра формула по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел формула, она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой). К примеру, при формула из параметрических уравнений прямой в пространстве получаем координаты x1y1 и z1формула.

Каноническое
Разрешив каждое из параметрических уравнений прямой вида формула относительно параметра формула, легко перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве вида формула.
Канонические уравнения прямой в пространстве определяют прямую, проходящую через точкуформула, а направляющим вектором прямой является вектор формула. К примеру, уравнения прямой в каноническом виде формула соответствуют прямой, проходящей через точку пространства с координатами формула, направляющий вектор этой прямой имеет координаты формула.