Прямая в пространстве. Прямая как пересечение двух плоскостей. Виды уравнений прямой (векторное, параметрические, канонические).

Прямая в пространстве. 

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Прямая как пересечение двух плоскостей. 

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей --  и  , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Виды уравнений прямой (векторное, параметрические, канонические).

Параметрическое

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид , где x₁,y₁ и z₁ – координаты некоторой точки прямой, a_x, a_y и a_z (a_x, a_y и a_z одновременно не равны нулю) - соответствующие координаты направляющего вектора прямой, а  - некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.

При любом значении параметра  по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел , она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой). К примеру, при  из параметрических уравнений прямой в пространстве получаем координаты x₁, y₁ и z₁: .

Каноническое

Разрешив каждое из параметрических уравнений прямой вида  относительно параметра , легко перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве вида .

Канонические уравнения прямой в пространстве определяют прямую, проходящую через точку, а направляющим вектором прямой является вектор . К примеру, уравнения прямой в каноническом виде  соответствуют прямой, проходящей через точку пространства с координатами , направляющий вектор этой прямой имеет координаты .