Вычисления неопределенных интегралов: интегрирование по частям.

 Вычисления неопределенных интегралов: интегрирование по частям.

Рассмотрим функции  и , которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл  можно свести к нахождению интеграла , который может быть более простым.

Замечание

В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

1)   ;     ;   

Здесь  - многочлен степени ,  - некоторая константа. В данном случае в качестве функции  берется многочлен, а в качестве  - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется  раз.

Примеры решения интегралов данным методом

Пример

Задание. Найти интеграл 

Решение. В исходном интеграле выделим функции  и , затем выполним интегрирование по частям.

Ответ. 

Задание. Найти интеграл 

Решение. В исходном интеграле выделим функции  и , затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.

Ответ. 

2)  ;     ;   

Здесь принимают, что , а в качестве  оставшиеся сомножители.