вторник, 10 декабря 2013 г.

Вычисления определённых интегралов: замена переменной.

 Вычисления определённых интегралов: замена переменной.

Теорема. Пусть дан интеграл , где  непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с  равенством . Если
1) 
2)  и  непрерывны на ,
3) при изменении z от α до β значения  не выходят за пределы отрезка  то
(5)
Доказательство. Пусть –первообразная для функции, то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница
(I)
Покажем, что функция  является первообразной для функции =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница
(II)
Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5).
Пример.
при x=0  при x=ln
=