вторник, 3 декабря 2013 г.

Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

 Асимптоты графика функции. 

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат.

Вертикальная асимптота — прямая вида ~x = a при условии существования предела \lim_{x \to  a}f(x)= \infty .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
  1. \lim_{x \to  a-0}f(x)= +- \infty
  2. \lim_{x \to  a+0}f(x)=  -+\infty

Горизонтальная асимптота — прямая вида ~y = a при условии существования предела
\lim_{x \to  \pm \infty}f(x)=a.

Наклонная асимптота — прямая вида ~y=kx+b при условии существования пределов
  1. \lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k
  2. \lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b






Общая схема исследования функции и построения её графика.

При решении этой задачи находят:
1) область определения функции;
2) точки разрыва и исследуют поведение функции в граничных точках области определения;
3) находят нули функции и промежутки ее знакопостоянства;
4) находят асимптоты;
5) критические точки и интервалы монотонности;
6) точки перегиба и интервалы выпуклости.
Замечание. Если функция f(x) четная, т.е. f(x) = f(–x), или нечетная, т.е. f(x) = – f(–x), то исследование функции достаточно провести для x³0, а затем по свойству четности или нечетности построить график при x<0.
Завершают исследование функции построением ее графика.
Пример 19. Исследовать функцию у =  и построить ее график.
Решение. 1) Функция у =  определена всюду, кроме точки x=1. Отсюда область определения её: (–¥,1) È(1,+¥).
2) x=1 – точка разрыва функции.
Исследуем поведение функции в граничных точках области определения:
f (x) =  = +¥,
f (x) =  = +¥, так как при х®1 знаменатель дроби является положительной бесконечно малой.
===+¥;
===–¥.
3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При х = 0 получаем у = 0, т.е. график функции пересекает координатные оси в точке O(0,0).
4) Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.
Найдем наклонные асимптоты:
k==== 1, т.е. k =1;
b = ( (x)– kx) == = = = == = = =2,
т.е. b=2. Имеем уравнение правой наклонной асимптоты y = x+2.
Легко убедиться, что при x ®–¥ k и b имеют те же значения, т.е. уравнение левой наклонной асимптоты такое же y = x+2.
5) Найдем производную функции: y' = =
= =  = .
Приравнивая y' к нулю, получим x3–3x2=0, откуда имеем критические точки x1=0, x2=3. Для исследования знака производной в интервале (–¥;0), (0;3) и (3; +¥) на числовой оси отметим точки x=0, x=3 их=1.
Определим знаки y' =  в указанных интервалах.









Таким образом, в интервале (–¥;1) функция возрастает, в интервале (1,3) – убывает, в интервале (3,+ ¥) она возрастает. В точке x=3 функция имеет минимум: (3) === 6,75.
6) Найдем вторую производную:
y''=== ==
==, y''=0 при x=0. Так как знаменатель дроби (x–1)4>0 всегда (кроме x=1), то знак второй производной зависит лишь от числителя. При x<0 y''<0, при x>0 y''>0.
Точка x=0 является точкой перегиба. При x<0 кривая направлена выпуклостью вверх, так как y''<0, а при x>0 – выпуклостью вниз. В точке перегиба (x) имеет значение (0)=0.
Результаты наших исследований объединим в таблицу.

x
(–¥,0)
0
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+¥)
y'
+
0
+

0
+
y''
0
+

+

+
y
äÇ
точка перегиба
Èä
не существует
æÈ
min
Èä

Строим график функции, предварительно построив асимптоты и отметив точки минимума, перегиба и пересечения графика с осями координат.






Рис.41