вторник, 3 декабря 2013 г.

Высказывания. Логические операции над высказываниями (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквивалентность). Таблицы истинности.

Высказывания. 

 Определение 1.1. Повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинное или ложное, называется простым высказыванием. 

Логические операции над высказываниями (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквивалентность). 


     
Определение 1.2. Дизъюнкцией (логической суммой) высказываний «A и/или B» называется высказывание AvB (от латинского vel – или),  истинное в тех случаях, когда хотя бы одно из высказываний A, B  истинное,  AvB=1, а  именно: 1+0=1;  0+1=1;1+1=1.     Дизъюнкция высказываний «A и/или B» считается ложной, только если A и B – ложные, при этом  AvB=0: 0+0=0. 
    
Определение 1.3. Конъюнкцией (логическим произведением) выска- зываний  «A и B» называется высказывание A&B, реже обозначаемое A·B, истинное только в том случае, когда каждое из высказываний  A, B истинное,  A&B=1: 1·1=1.     Конъюнкция высказываний «A и B» считается ложной, если хотя бы одно из высказываний A, B ложное,   A&B=0: 1·0=0; 0·1=0; 0·0=0. 

Определение 1.5. Отрицанием высказывания «не А» называется высказывание ┐A, истинное в том случае, когда высказывание A ложное: ┐A=1, ┐0=1. Отрицание  высказывания «не А» ложное, если  А  истинное: ┐A=0, ┐1=0.     

Определение 1.5. Импликацией высказываний «если А, то B» называ- ется высказывание А→B, ложное только тогда, когда высказывание А истинное, а высказывание B – ложное.     Высказывание А называется посылкой, а высказывание B – заключе- нием импликации. Если высказывание А – ложное, то о высказывании  B ничего не утверждается, оно может быть истинным или ложным.    

 Определение 1.6. Обратной импликацией высказываний  «A следует из B» называется высказывание А←B, ложное только тогда, когда высказывание B истинное , а высказывание А – ложное.     

Определение 1.7. Эквиваленцией высказываний A и B «А тогда и только тогда, когда B» называется высказывание А↔B, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания A и B – истинные или оба  ложные.  

Таблицы истинности.