Зачет по математике 11 класс 3-й семестр

1)       Операции пересечения и объединения множеств. Операции  разности и дополнения множеств, их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.

2)       Упорядоченные пары. Декартово произведение двух и более множеств. Соответствие между множествами. Область определения и множество значений соответствия.

3)       Виды соответствий (одно-однозначное, много-однозначное и т.д.). Функциональное соответствие (функция). Область определения и множество значений функции.

4)       Обратная функция. Критерий обратимости функции (без доказательства). Свойство графиков взаимно-обратных функций. Сложная функция.

5)       Определение монотонности, ограниченности, чётности, нечётности функций. Свойства графиков чётной и нечётной функций (без доказательства).

6)       Определение периодической функции, периода, основного периода функции. Теоремы о периодических функциях (без доказательства).

7)       Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых (без доказательства).

8)       Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости (без доказательства).

9)       Взаимное расположение плоскостей в пространстве.Теоремы о параллельных плоскостях (без доказательства).

10)  Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса действительного числа. Графики тригонометрических функций.

11)  Основное тригонометрическое тождество. Формулы сложения. Формулы приведения. Тригонометрические формулы двойного угла, понижения степени и половинного аргумента. Универсальная тригонометрическая подстановка.

12)  Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и произведения тригонометрических функций в сумму (разность). Формулы преобразования выражений вида  с помощью дополнительного аргумента.

13)  Квадратичная функция. Прямая и обратная теоремы Виета. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители. Формулы координат вершины параболы.

14)  Теорема Безу и её следствия. Схема Горнера. Теорема о целых и рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.

15)  Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Формулы по логарифмам. ТУТ 1, ТУТ 2, ТУТ 3

16)  Понятие угла между скрещивающимися прямыми. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах.

17)  Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Угол между плоскостями.

18)  Перпендикулярность плоскостей. Свойства перпендикулярных плоскостей (без доказательства).

19)  Арифметическая прогрессия. Определение, свойства, формулы для вычисления n-го члена и суммы n первых членов (без доказательства).

20)  Геометрическая прогрессия. Определение, свойства, формулы для вычисления n-го члена и суммы n первых членов (без доказательства).

21)  Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, её сумма (без доказательства).

22)  Определение обратных тригонометрических функций, их графики.

23)  Решение простейших тригонометрических уравнений.

24)  Определение предела функции в точке по Гейне и по Коши.

25)  Понятие односторонних пределов функции. Предел функции на бесконечности.

26)  Первый замечательный предел(без доказательства).

27)  Второй замечательный предел (без доказательства).

28)  Определение скалярного произведения векторов. Формула для вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.Вычисление косинуса угла между ненулевыми векторами и прямыми. Условие перпендикулярности векторов. Проекция вектора на вектор.

29)  Деление отрезка в данном отношении.

30)  Определение векторного произведения векторов, формула для вычисления векторного произведения векторов в ортонормированном базисе.

31)  Применение векторного произведения векторов для вычисления площади параллелограмма, треугольника и выпуклого четырёхугольника, а также вектора нормали к плоскости (без доказательства).

32)  Определение смешанного произведения трёх векторов. Вычисление смешанного произведения векторов в ПДСК.

33)  Формулы объёмов параллелепипеда  и тетраэдра (без доказательства). Критерий  компланарности векторов (без доказательства).

34)  Применение векторного и смешанного произведений для вычисления расстояния от точки до плоскости и между скрещивающимися прямыми (без доказательства).  

35)  Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Вертикальные асимптоты.

36)  Определение производной функции в точке и на множестве. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке.

37)  Арифметические теоремы о производных (без доказательства).

38)  Теоремы о производной сложной функции и о производной обратной функции (без доказательства).

39)  Производные элементарных функций (без доказательства).

40)  Определение локального экстремума функции. Признаки локального возрастания и убывания функции (без доказательства). Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке (без доказательства).

ЧАСТЬ 2

41)  Вторая производная. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

42)  Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

43)  Дифференцируемость функции в точке. Дифференцируемость и непрерывность (с доказательством).

44)  Дифференциал – главная линейная часть приращения функции. Геометрический смысл и правила нахождения дифференциала.

45)  Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала к приближённым вычислениям (Примеры).

46)  Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (теорема с доказательством).

47)  Параллельное и ортогональное проектирование. Теоремы о проекциях (с доказательством).

48)  Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника (с доказательством).

49)  Высказывания. Логические операции над высказываниями (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквивалентность). Таблицы истинности.

50)  Уравнение и неравенство как логические понятия. Уравнение-следствие на множестве. Преобразования, приводящие к уравнению-следствию.

51)  Равносильность уравнений на множестве. Равносильные преобразования уравнений.

52)  Неравенство-следствие на множестве. Равносильность неравенств на множестве. Равносильные преобразования неравенств.

53)  Равносильность уравнений и неравенств системам и совокупностям. Основные равносильные переходы.

54)  Распадающиеся уравнения.Равносильность систем. Система-следствие.

55)  Прямая на плоскости. Линейность уравнения прямой и обратное утверждение. Направляющий и нормальный векторы.

56)  Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой (с доказательством).

57)  Плоскость. Линейность уравнения плоскости и обратное утверждение. Нормальный вектор.

58)  Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения  плоскости. Расстояние от точки до плоскости (с доказательством).

59)  Прямая в пространстве. Прямая как пересечение двух плоскостей. Виды уравнений прямой (векторное, параметрические, канонические).

60)  Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интегралов.

61)  Вычисления неопределенных интегралов: подведение под знак дифференциала.

62)  Вычисления неопределенных интегралов: интегрирование по частям.

63)  Определённый интеграл как предел интегральных сумм. Геометрическая интерпретация определённого интеграла.

64)  Определённый интеграл. Свойства определённого интеграла (линейность, аддитивность, теорема о среднем значении и другие).

65)  Определённый интеграл. Нахождение определённых интегралов от чётных и нечётных функций по отрезкам, симметричным относительно нуля. 

66)  Теорема о производной от интеграла с переменным верхним пределом (с доказательством). Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).

67)  Вычисления определённых интегралов: замена переменной.

68)  Вычисления определённых интегралов: по частям.

69)  Определение граничной точки и границы фигуры, выпуклой фигуры. Определение многогранника; граней, рёбер и вершин многогранника. Диагоналей многогранника, плоского угла при вершине, угла между соседними гранями, двугранного угла многогранника при данном ребре, развёртки многогранника. Свойства выпуклого многогранника. (§9 учебника).

70)  Определение призмы, её оснований, боковых граней, боковых рёбер, боковой поверхности, полной поверхности, прямой призмы, наклонной призмы, правильной призмы, диагонали , высоты диагональной плоскости и диагонального сечения призмы. Теоремы о площади боковой поверхности прямой и наклонной призмы. Формула объёма призмы.(учебник: §11)

71)  Определения параллелепипеда.его противолежащих (противоположных) граней и рёбер, прямого и прямоугольного параллелепипеда, куба, измерений прямоугольного параллелепипеда. Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формулы объёма параллелепипеда. (учебник: §12). 

72)  Определение пирамиды, её основания и боковых граней, вершины, боковых рёбер пирамиды, высоты пирамиды, тетраэдра, правильной пирамиды, апофемы. Формулы площади боковой и полной поверхности пирамиды, объёма пирамиды (учебник, §14).

73)  Определение усечённой пирамиды, её нижнего и верхнего оснований, боковой грани, высоты, правильной усечённой пирамиды, её апофемы. Формула объёма усечённой пирамиды (учебник, §14).

74)  Определение цилиндра, его оснований, боковой и полной поверхности, высоты, образующей, оси, осевого сечения. Определение равностороннего цилиндра. Формулы площади боковой и полной поверхностей цилиндра. Формула объёма цилиндра (учебник: §17).

75)  Определение конуса, его основания, вершины, оси, осевого сечения, высоты, образующих, боковой и полной поверхностей, угла при вершине осевого сечения.  Определение равностороннего конуса. Формулы боковой и полной поверхностей конуса. Формула объёма конуса (учебник: §18).

76)  Определение усечённого конуса, его оснований, высоты, образующих, боковой и полной поверхности. Формулы площади боковой и полной поверхностей усечённого конуса. Формула объёма усечённого конуса  (учебник: §18).

77)  Определения шара, сферы, радиуса и диаметра шара и сферы. Уравнение сферы. Неравенство шара. Теорема о пересечении шара и сферы с плоскостью. Плоскость, касательная к сфере и шару. Формулы площади сферы и объёма шара.