понедельник, 9 декабря 2013 г.

Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости (с доказательством).

Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения  плоскости. 

Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (
a
, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках
x
 + 
y
 + 
z
 = 1
a
b
c

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде
, (1)

где  - направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Уравнение плоскости, проходящей через три точки
М0(x0, y0, z0), М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2), не лежащие на одной прямой, имеет вид


       Параметрическое уравнение.Так же, как для прямой, условие (5.3.1) может быть переписано в виде 

r = r0 + up1 + v2,      u, v ∈ R,        (5.3.3)

или, в координатной форме, в системе координат Oxyz 

                   (5.3.4)

        Уравнения (5.3.3), (5.3.4) называются параметрическими уравнениями плоскости в векторной и координатной формах.


Расстояние от точки до плоскости (с доказательством).

 Предложение 11.1   Пусть плоскость $ \Pi$ задана уравнением $ {Ax+By+Cz+D=0}$ и дана точка $ M_0
(x_0;y_0;z_0)$ . Тогда расстояние $ \rho$ от точки $ M_0$ до плоскости $ \Pi$ определяется по формуле
$\displaystyle \rho=\frac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$(11.7)

        Доказательство.     Расстояние от точки $ M_0$ до плоскости $ \Pi$ -- это, по определению, длина перпендикуляра $ MK$ , опущенного из точки $ M_0$ на плоскость $ \Pi$ (рис. 11.9).


Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости


Вектор $ \overrightarrow {KM_0}$ и нормальный вектор n плоскости $ \Pi$ параллельны, то есть угол $ {\varphi}$ между ними равен 0 или $ \pi$ , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому
$\displaystyle \vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert=\vert{\bf n}\vert\vert\overrightarrow {KM_0}\vert\vert\cos{\varphi}\vert=\vert{\bf n}\vert\rho.$
Откуда
$\displaystyle \rho=\frac{\vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert}{\vert{\bf n}\vert}.$(11.8)

Координаты точки $ K$ , которые нам неизвестны, обозначим $ x_1,\,y_1,\,z_1$ . Тогда $ \overrightarrow {KM_0}=(x_0-x_1;y_0-y_1;z_0-z_1)$ . Так как $ {{\bf n}=(A;B;C)}$ , то $ {{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)}$ . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим
$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1).$(11.9)

Точка $ K$ лежит на плоскости $ \Pi$ , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: $ {Ax_1+By_1+Cz_1+D=0}$ . Отсюда находим, что $ {Ax_1+By_1+Cz_1=-D}$ . Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим $ {{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0+D}$ . Так как $ {\vert{\bf n}\vert=
\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).