вторник, 3 декабря 2013 г.

Параллельное и ортогональное проектирование. Теоремы о проекциях (с доказательством)

Параллельное и ортогональное проектирование. 


ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
    В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование.
    Пусть p - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая (рис. 1). Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью p называется параллельной проекцией точки A на плоскость p в направлении прямой l. Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией на плоскость считается точка пересечения прямой l с плоскостью p.
   Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость p. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость p в направлении прямой l.
    Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость p образуют фигуру Ф', которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость p в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф' получена из фигуры Ф параллельным проектированием.

3.7. Ортогональное проектирование

Определение 3.10. 
Параллельное проектирование, при котором проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций, называется ортогональным проектированием.
Теорема 3.13. 
Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: 
Sпр = S cos φ.
  
Теоремы о проекциях (с доказательством)

  Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.
    Доказательство. Ясно, что если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой на плоскость p будет точка пересечения прямой l и плоскости p. Пусть k не параллельна и не совпадает с прямой l (рис. 2). Возьмем какую-нибудь точку A на прямой k и проведем через нее прямую a, параллельную l. Ее пересечение с плоскостью проектирования p даст точку A', являющуюся проекцией точки A. Через прямые a и k проведем плоскость a . Ее пересечением с плоскостью p будет искомая прямая k', являющаяся проекцией прямой k.
    Свойство 2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.
    Доказательство.Ясно, что если отрезок лежит на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, то его проекцией будет точка. Пусть точки A, B и C лежат на прямой k, не параллельной и не совпадающей с прямой l; k' – проекция прямой k на плоскость p в направлении прямой l; A', B', C' – проекции точек A, B и Cсоответственно; abc – соответствующие прямые, проходящие через эти точки и параллельные прямой l (рис. 3). Тогда из теоремы Фалеса планиметрии следует равенство отношений AB : BC = A'B' : B'C'. В частности, если точка B - середина отрезка AC, то B' - середина отрезка A'C'.
    Свойство 3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекции в направлении l могут быть или параллельными прямыми или одной прямой.
    Доказательство. Пусть k1, k2 - параллельные прямые, не параллельные прямой l. Так же как и при доказательстве первого свойства, рассмотрим плоскости a1a2, линии пересечения которых с плоскостью p дают проекции k1', k2' прямых k1, k2 соответственно (рис. 4). Если плоскости a1 и a2 совпадают, то проекции прямых k1 и k2также совпадают. Если эти плоскости различны, то они параллельны между собой, по признаку параллельности плоскостей (прямая k1 параллельна прямой k2, прямаяA1A1' параллельна прямой A2A2). В силу свойства параллельных плоскостей, линии пересечения этих плоскостей с плоскостью p параллельны.
   При изображении пространственных фигур на плоскости особенно важно уметь правильно изображать плоские фигуры, поскольку они входят в поверхность основных пространственных фигур. Например, плоские многоугольники являются гранями многогранников, круги - основаниями цилиндров и конусов.
    Теорема. Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования p, то ее проекция F' на эту плоскость будет равна фигуре F.
    Доказательство. Пусть A, B – точки фигуры F и A, B – их параллельные проекции (рис. 5). Тогда ABBA’ – параллелограмм. Поэтому параллельный перенос на вектор  переводит точку B в B. Поскольку точку B фигуры F можно выбирать произвольно, то этот параллельный перенос переводит фигуру F в фигуру F. Значит фигуры F и F’ равны.