понедельник, 9 декабря 2013 г.

Определённый интеграл. Свойства определённого интеграла (линейность, аддитивность, теорема о среднем значении и другие).

 Определённый интеграл. 

Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.
Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.
определенный интеграл
Определенный интеграл обозначается символом определенный интеграл. Его можно найти по формуле Ньютона — Лейбница:
определенный интеграл

Свойства определённого интеграла (линейность, аддитивность, теорема о среднем значении и другие).


а) Если существует \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx и \lambda — любое число, то \int\limits_{a}^{b}\lambda f(x)\,dx= \lambda\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx.

Доказательство. Из соответствующего свойства неопределенных интегралов следует, что если F(x) — первообразная для f(x), то \lambda F(x) — первообразная для \lambda f(x). Значит,

\int\limits_{a}^{b}\lambda f(x)\,dx=\Bigl.{\lambda F(x)}\Bigr|_{a}^{b}= \lambda F(b)-\lambda F(a)=\lambda \Bigl(F(b)-F(a)\Bigr)= \lambda \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\,.

б) Если функции y=f_1(x) и y=f_2(x) имеют первообразные на отрезке [a;b], то

\int\limits_{a}^{b}\Bigl(f_1(x)+f_2(x)\Bigr)dx= \int\limits_{a}^{b}f_1(x)\,dx+ \int\limits_{a}^{b}f_2(x)\,dx\,.

Доказательство. Из соответствующего свойства неопределенных интегралов следует, что если F_1(x) — первообразная для f_1(x), a F_2(x) — первообразная для f_2(x) на отрезке [a;b], то F_1(x)+F_2(x) — первообразная для f_1(x)+f_2(x). Значит,

\begin{aligned}\int\limits_{a}^{b}\Bigl(f_1(x)+f_2(x)\Bigr)dx&= \left.{\Bigl(F_1(x)+ F_2(x)\Bigr)}\right|_{a}^{b}= \Bigl(F_1(b)+F_2(b)\Bigr)-\Bigl(F_1(a)+F_2(a)\Bigr)=\\[-8pt] &=\Bigl(F_1(b)-F_1(a)\Bigr)+\Bigl(F_2(b)-F_2(a)\Bigr) =\int\limits_{a}^{b}f_1(x)\,dx+ \int\limits_{a}^{b} f_2(x)\,dx\,.\end{aligned}

в) Если функция f(x) имеет первообразную на отрезке [a;b] и если a<c<b, то (аддитивное свойство определенного интеграла)

\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= \int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+ \int\limits_{c}^{b} f(x)\,dx\,.

Доказательство. Пусть F(x) — первообразная для f(x). Тогда

\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),~~ \int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx=F(c)-F(a),~~ \int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(c).

Аддитивность площади криволинейной трапеции
Но F(b)-F(a)=\bigl(F(c)-F(a)\bigr)+\bigl(F(b)-F(c)\bigr). Значит,

\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= \int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+ \int\limits_{c}^{b} f(x)\,dx\,,
что и требовалось доказать.
Доказанное свойство имеет простой геометрический смысл: оно выражает аддитивность площади криволинейной трапеции. Так, на рисунке 5

S_{aABb}= \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx;\quad S_1=\int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx;\quad S_2=\int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx. Тогда s_{aABb}=S_1+S_2.

г) Если функция y=f(x) имеет первообразную на отрезке [a;b], то справедливо равенство

\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= -\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx\,.

Доказательство. Пусть F(x) — первообразная для f(x). Тогда

\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad \int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx=F(a)-F(b).

Но F(b)-F(a)=-\bigl(F(a)-F(b)\bigr), откуда и следует доказываемое утверждение.

д) \int\limits_{a}^{a}f(x)\,dx=0. Доказательство: \int\limits_{a}^{a}f(x)\,dx=F(a)-F(a)=0.



Пример 7. Вычислить интеграл от рациональной дроби: \int\limits_{0}^{3} \frac{x^4}{x^2+1}\,dx.

Решение. Сначала выделим целую часть неправильной дроби, содержащейся под знаком интеграла:

\int\limits_{0}^{3} \frac{x^4}{x^2+1}\,dx= \int\limits_{0}^{3} \frac{(x^4-1)+1}{x^2+1}\,dx= \int\limits_{0}^{3} \frac{(x^2-1)(x^2+1)+1}{x^2+1}\,dx= \int\limits_{0}^{3} \!\left(x^2-1+\frac{1}{x^2+1}\right)\!dx\,.

Воспользовавшись теперь свойством б) определенного интеграла, получим:

\begin{aligned}\int\limits_{0}^{3} \!\left(x^2-1+\frac{1}{x^2+1}\right)\!dx&= \int\limits_{0}^{3}x^2\,dx-\int\limits_{0}^{3}dx+\int\limits_{0}^{3}\frac{dx}{x^2+1}= \left.{\frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{3}- \Bigl.{x}\Bigr|_{0}^{3}+ \Bigl.{\operatorname{arctg}x}\Bigr|_{0}^{3}=\\ &=(9-0)-(3-0)+ (\operatorname{arctg}3- \operatorname{arctg}0)= 6+\operatorname{arctg}3.\end{aligned}