понедельник, 9 декабря 2013 г.

Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой (с доказательством)

Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения прямой на плоскости. 

  Общее уравнение 
Ax + By + C ( > 0).
     Вектор  = (А; В) - нормальный вектор прямой.
     В векторном виде:  + С = 0, где  - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).
     Частные случаи:
     1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;
     2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;
     3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;
     4) y = 0 - ось Ox;
     5) x = 0 - ось Oy.

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x
 = 
l t
 + 
x
0
y
 = 
m t
 + 
y
0
где (
x
0
y
0) - координаты точки лежащей на прямой, 
{l
m}
 - координаты направляющего вектора прямой.

Уравнение прямой в отрезках 
где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11) 


где  - угол, образуемый нормально к прямой и осью Oxp - расстояние от начала координат до прямой.
     Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:
Здесь  - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если  и произвольно, если C = 0.


Расстояние от точки до прямой (с доказательством)

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если задано уравнение прямой A
x
 + B
y
 + C = 0, то расстояние от точки M(M
x
, M
y
) до прямой можно найти, используя следующую формулу

|A·M
x
 + B·M
y
 + C|
(A2 + B2)1/2

Доказательство. Пусть точка М11, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:
       (1)
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой.
            Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.