Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

 Асимптоты графика функции. 

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат.

Вертикальная асимптота — прямая вида  при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. 
2. 

Горизонтальная асимптота — прямая вида  при условии существования предела

.

Наклонная асимптота — прямая вида  при условии существования пределов

1. 
2. 

Общая схема исследования функции и построения её графика.

При решении этой задачи находят:

1) область определения функции;

2) точки разрыва и исследуют поведение функции в граничных точках области определения;

3) находят нули функции и промежутки ее знакопостоянства;

4) находят асимптоты;

5) критические точки и интервалы монотонности;

6) точки перегиба и интервалы выпуклости.

Замечание. Если функция f(x) четная, т.е. f(x) = f(–x), или нечетная, т.е. f(x) = – f(–x), то исследование функции достаточно провести для x³0, а затем по свойству четности или нечетности построить график при x<0.

Завершают исследование функции построением ее графика.

Пример 19. Исследовать функцию у =  и построить ее график.

Решение. 1) Функция у =  определена всюду, кроме точки x=1. Отсюда область определения её: (–¥,1) È(1,+¥).

2) x=1 – точка разрыва функции.

Исследуем поведение функции в граничных точках области определения:

f (x) =  = +¥,

f (x) =  = +¥, так как при х®1 знаменатель дроби является положительной бесконечно малой.

===+¥;

===–¥.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При х = 0 получаем у = 0, т.е. график функции пересекает координатные оси в точке O(0,0).

4) Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем наклонные асимптоты:

k==== = 1, т.е. k =1;

b = ( f (x)– kx) == = = = == = = =2,

т.е. b=2. Имеем уравнение правой наклонной асимптоты y = x+2.

Легко убедиться, что при x ®–¥ k и b имеют те же значения, т.е. уравнение левой наклонной асимптоты такое же y = x+2.

5) Найдем производную функции: y' = =

= =  = .

Приравнивая y' к нулю, получим x³–3x²=0, откуда имеем критические точки x₁=0, x₂=3. Для исследования знака производной в интервале (–¥;0), (0;3) и (3; +¥) на числовой оси отметим точки x=0, x=3 их=1.

Определим знаки y' =  в указанных интервалах.

Таким образом, в интервале (–¥;1) функция возрастает, в интервале (1,3) – убывает, в интервале (3,+ ¥) она возрастает. В точке x=3 функция имеет минимум: f (3) === 6,75.

6) Найдем вторую производную:

y''=== ==

==, y''=0 при x=0. Так как знаменатель дроби (x–1)⁴>0 всегда (кроме x=1), то знак второй производной зависит лишь от числителя. При x<0 y''<0, при x>0 y''>0.

Точка x=0 является точкой перегиба. При x<0 кривая направлена выпуклостью вверх, так как y''<0, а при x>0 – выпуклостью вниз. В точке перегиба f (x) имеет значение f (0)=0.

Результаты наших исследований объединим в таблицу.

x	(–¥,0)	0	(0,1)	1	(1,3)	3	(3,+¥)
y'	+	0	+		–	0	+
y''	–	0	+		+		+
y	äÇ	точка перегиба	Èä	не существует	æÈ	min	Èä

Строим график функции, предварительно построив асимптоты и отметив точки минимума, перегиба и пересечения графика с осями координат.

Рис.41

Вторая производная. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Вторая производная. 

Так как, производная f '(x) функции у=f(x) сама является некоторой функцией аргумента x, то можно говорить о существование и нахождение производной от нее.

Если функция  дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают : 

Выпуклость графика функции. 

Пусть функция f(x) дифференцируема на (a;b), тогда существует касательная к графику функции y=f(x) в любой точке M (x, f(x)) этого графика (a<x; x<b)

График функции y=f(x) имеет на (a;b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной графика функции на (a;b).

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x₁ и x₂ из этого отрезка 

График 3.2.3.1. Выпуклая вверх функция

Другими словами, если для любых точек x₁ и x₂ отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого 

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого 

Так, вторая производная функции  равна  откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке  и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если  – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то 

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке  Если  меняет знак при переходе через точку  то  – точка перегиба функции f (x).

Если   то  – точка перегиба функции f (x).

Зачет по математике 11 класс 3-й семестр

1)       Операции пересечения и объединения множеств. Операции  разности и дополнения множеств, их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.

2)       Упорядоченные пары. Декартово произведение двух и более множеств. Соответствие между множествами. Область определения и множество значений соответствия.

3)       Виды соответствий (одно-однозначное, много-однозначное и т.д.). Функциональное соответствие (функция). Область определения и множество значений функции.

4)       Обратная функция. Критерий обратимости функции (без доказательства). Свойство графиков взаимно-обратных функций. Сложная функция.

5)       Определение монотонности, ограниченности, чётности, нечётности функций. Свойства графиков чётной и нечётной функций (без доказательства).

6)       Определение периодической функции, периода, основного периода функции. Теоремы о периодических функциях (без доказательства).

7)       Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых (без доказательства).

8)       Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости (без доказательства).

9)       Взаимное расположение плоскостей в пространстве.Теоремы о параллельных плоскостях (без доказательства).

10)  Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса действительного числа. Графики тригонометрических функций.

11)  Основное тригонометрическое тождество. Формулы сложения. Формулы приведения. Тригонометрические формулы двойного угла, понижения степени и половинного аргумента. Универсальная тригонометрическая подстановка.

12)  Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и произведения тригонометрических функций в сумму (разность). Формулы преобразования выражений вида  с помощью дополнительного аргумента.

13)  Квадратичная функция. Прямая и обратная теоремы Виета. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители. Формулы координат вершины параболы.

14)  Теорема Безу и её следствия. Схема Горнера. Теорема о целых и рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.

15)  Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Формулы по логарифмам. ТУТ 1, ТУТ 2, ТУТ 3

16)  Понятие угла между скрещивающимися прямыми. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах.

17)  Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Угол между плоскостями.

18)  Перпендикулярность плоскостей. Свойства перпендикулярных плоскостей (без доказательства).

19)  Арифметическая прогрессия. Определение, свойства, формулы для вычисления n-го члена и суммы n первых членов (без доказательства).

20)  Геометрическая прогрессия. Определение, свойства, формулы для вычисления n-го члена и суммы n первых членов (без доказательства).

21)  Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, её сумма (без доказательства).

22)  Определение обратных тригонометрических функций, их графики.

23)  Решение простейших тригонометрических уравнений.

24)  Определение предела функции в точке по Гейне и по Коши.

25)  Понятие односторонних пределов функции. Предел функции на бесконечности.

26)  Первый замечательный предел(без доказательства).

27)  Второй замечательный предел (без доказательства).

28)  Определение скалярного произведения векторов. Формула для вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.Вычисление косинуса угла между ненулевыми векторами и прямыми. Условие перпендикулярности векторов. Проекция вектора на вектор.

29)  Деление отрезка в данном отношении.

30)  Определение векторного произведения векторов, формула для вычисления векторного произведения векторов в ортонормированном базисе.

31)  Применение векторного произведения векторов для вычисления площади параллелограмма, треугольника и выпуклого четырёхугольника, а также вектора нормали к плоскости (без доказательства).

32)  Определение смешанного произведения трёх векторов. Вычисление смешанного произведения векторов в ПДСК.

33)  Формулы объёмов параллелепипеда  и тетраэдра (без доказательства). Критерий  компланарности векторов (без доказательства).

34)  Применение векторного и смешанного произведений для вычисления расстояния от точки до плоскости и между скрещивающимися прямыми (без доказательства).  

35)  Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Вертикальные асимптоты.

36)  Определение производной функции в точке и на множестве. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке.

37)  Арифметические теоремы о производных (без доказательства).

38)  Теоремы о производной сложной функции и о производной обратной функции (без доказательства).

39)  Производные элементарных функций (без доказательства).

40)  Определение локального экстремума функции. Признаки локального возрастания и убывания функции (без доказательства). Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке (без доказательства).

ЧАСТЬ 2

41)  Вторая производная. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

42)  Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

43)  Дифференцируемость функции в точке. Дифференцируемость и непрерывность (с доказательством).

44)  Дифференциал – главная линейная часть приращения функции. Геометрический смысл и правила нахождения дифференциала.

45)  Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала к приближённым вычислениям (Примеры).

46)  Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (теорема с доказательством).

47)  Параллельное и ортогональное проектирование. Теоремы о проекциях (с доказательством).

48)  Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника (с доказательством).

49)  Высказывания. Логические операции над высказываниями (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквивалентность). Таблицы истинности.

50)  Уравнение и неравенство как логические понятия. Уравнение-следствие на множестве. Преобразования, приводящие к уравнению-следствию.

51)  Равносильность уравнений на множестве. Равносильные преобразования уравнений.

52)  Неравенство-следствие на множестве. Равносильность неравенств на множестве. Равносильные преобразования неравенств.

53)  Равносильность уравнений и неравенств системам и совокупностям. Основные равносильные переходы.

54)  Распадающиеся уравнения.Равносильность систем. Система-следствие.

55)  Прямая на плоскости. Линейность уравнения прямой и обратное утверждение. Направляющий и нормальный векторы.

56)  Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой (с доказательством).

57)  Плоскость. Линейность уравнения плоскости и обратное утверждение. Нормальный вектор.

58)  Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения  плоскости. Расстояние от точки до плоскости (с доказательством).

59)  Прямая в пространстве. Прямая как пересечение двух плоскостей. Виды уравнений прямой (векторное, параметрические, канонические).

60)  Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интегралов.

61)  Вычисления неопределенных интегралов: подведение под знак дифференциала.

62)  Вычисления неопределенных интегралов: интегрирование по частям.

63)  Определённый интеграл как предел интегральных сумм. Геометрическая интерпретация определённого интеграла.

64)  Определённый интеграл. Свойства определённого интеграла (линейность, аддитивность, теорема о среднем значении и другие).

65)  Определённый интеграл. Нахождение определённых интегралов от чётных и нечётных функций по отрезкам, симметричным относительно нуля. 

66)  Теорема о производной от интеграла с переменным верхним пределом (с доказательством). Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).

67)  Вычисления определённых интегралов: замена переменной.

68)  Вычисления определённых интегралов: по частям.

69)  Определение граничной точки и границы фигуры, выпуклой фигуры. Определение многогранника; граней, рёбер и вершин многогранника. Диагоналей многогранника, плоского угла при вершине, угла между соседними гранями, двугранного угла многогранника при данном ребре, развёртки многогранника. Свойства выпуклого многогранника. (§9 учебника).

70)  Определение призмы, её оснований, боковых граней, боковых рёбер, боковой поверхности, полной поверхности, прямой призмы, наклонной призмы, правильной призмы, диагонали , высоты диагональной плоскости и диагонального сечения призмы. Теоремы о площади боковой поверхности прямой и наклонной призмы. Формула объёма призмы.(учебник: §11)

71)  Определения параллелепипеда.его противолежащих (противоположных) граней и рёбер, прямого и прямоугольного параллелепипеда, куба, измерений прямоугольного параллелепипеда. Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формулы объёма параллелепипеда. (учебник: §12). 

72)  Определение пирамиды, её основания и боковых граней, вершины, боковых рёбер пирамиды, высоты пирамиды, тетраэдра, правильной пирамиды, апофемы. Формулы площади боковой и полной поверхности пирамиды, объёма пирамиды (учебник, §14).

73)  Определение усечённой пирамиды, её нижнего и верхнего оснований, боковой грани, высоты, правильной усечённой пирамиды, её апофемы. Формула объёма усечённой пирамиды (учебник, §14).

74)  Определение цилиндра, его оснований, боковой и полной поверхности, высоты, образующей, оси, осевого сечения. Определение равностороннего цилиндра. Формулы площади боковой и полной поверхностей цилиндра. Формула объёма цилиндра (учебник: §17).

75)  Определение конуса, его основания, вершины, оси, осевого сечения, высоты, образующих, боковой и полной поверхностей, угла при вершине осевого сечения.  Определение равностороннего конуса. Формулы боковой и полной поверхностей конуса. Формула объёма конуса (учебник: §18).

76)  Определение усечённого конуса, его оснований, высоты, образующих, боковой и полной поверхности. Формулы площади боковой и полной поверхностей усечённого конуса. Формула объёма усечённого конуса  (учебник: §18).

77)  Определения шара, сферы, радиуса и диаметра шара и сферы. Уравнение сферы. Неравенство шара. Теорема о пересечении шара и сферы с плоскостью. Плоскость, касательная к сфере и шару. Формулы площади сферы и объёма шара.

Физика вопросы к зачету 11 класс

Вопросы к зачету по разделу «Магнетизм».

1. Магнитные явления. Закон Ампера для элемента тока и витка с током.

2. Магнитная индукция. Закон Био-Савара-Лапласа. Индукция магнитного поля прямолинейного проводника с током, кругового витка и катушки с током.

3. Взаимодействие прямолинейных проводников с током. Определение единицы силы тока в СИ.

4. СилаЛоренца. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях.

5. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея. Правило Ленца. ЭДС, возникающая в проводнике, движущемся в магнитном поле.

6. Вихревые поля. Связь электрического и магнитного полей. Самоиндукция. Индуктивность.

7. Индуктивность соленоида. Энергия магнитного поля соленоида. Плотность энергии магнитного поля.

8. Магнитныесвойства вещества. Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики.

Вопросы к зачету по разделу «Колебания и волны».

Механические колебания.

1. Колебательное движение. Условия возникновения колебаний. Параметры колебательного движения. Гармонические колебания.

2. Колебания груза на пружине.

3. Математический маятник. Формула Гюйгенса.

4. Физический маятник. Период свободных колебаний физического маятника.

5. Превращениеэнергии в гармонических колебаниях.

6. Сложение гармонических колебаний, происходящих по одной прямой и по двум взаимно-перпендикулярным направлениям. Фигуры Лиссажу.

7. Затухающие механические колебания. Уравнение для затухающих колебаний и его решение.

8. Характеристики затухающих колебаний: коэффициент затухания, время релаксации, логарифмический декремент затухания, добротность.

9. Вынужденные механические колебания. Резонанс.

10.Автоколебания. Примеры автоколебательных систем.

Электрические колебания. Переменный ток.

1. Электрические колебания. Колебательный контур. Формула Томсона.

2. Переменный электрический ток. Рамка, вращающаяся вмагнитном поле. Генератор переменного тока.

3. Трансформаторы.

4.Электрические машины постоянного тока.

5. Резистор в цепи переменного тока. Действующее значение ЭДС, напряжения и силы тока.

6. Конденсатор в цепи переменного тока.

7. Катушка индуктивности в цепи переменного тока.

8. Вынужденные колебания в цепи переменного тока. Резонанс напряжений и токов.

9. Закон Ома для цепи переменного тока.

10. Мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока.

Волны.

1. Механические волны. Виды волн и их характеристики.

2. Уравнение бегущей волны. Плоские и сферические волны.

3. Интерференция волн. Условия минимума и максимума интерференции.

4. Дифракцияволн.

5. Принцип Гюйгенса.Законы отражения и преломления механических волн.

6. Стоячаяволна. Уравнение стоячей волны. Возникновение стоячей волны. Собственныечастоты колебаний.

7. Звуковыеволны. Скорость звука.

8. Движениетел со скоростью большей скорости звука.

9. ЭффектДоплера в акустике.

10. Электромагнитные волны. Предсказание и открытие электромагнитных волн. Физическийсмысл уравнений Максвелла. Опыты Герца. Свойства электромагнитных волн. Шкалаэлектромагнитных волн.

11. Излучениеэлектромагнитных волн. Перенос энергии электромагнитной волной. Вектор Умова-Пойнтинга.

Простенькие задачи по C++

Для начала как создать проект  File -> New -> Project -> Empty Project

Второй вариант

1) Написать программу, выводящие значение нижеприведенного выражения.

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main()
{
    setlocale(0, "");
    float x;
    float a;
    float b;
    double y;
    cin >> x;
    cin >> a;
    cin >> b;
    y=pow((4*x*x-2*x-a*a),(b+4))+sqrt(b)*fabs(tan(a*x));
    cout << y;

    system("pause");
    return 0;
}



2) Даны три произвольных числа. Определить, можно ли построить треугольник с такими длинами сторон, и если можно, то ответить, является ли он остроугольник.

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main()
{
    setlocale(0, "");
    double a;
    double b;
    double c;

    cin >> a;
    cin >> b;
    cin >> c;

    if ((a>0) && (b>0) && (c>0) && (a+b>c) && (a+c>b) && (b+c>a)){

cout << "треугольник с такими сторонами существует";

if ((sqrt(a)+sqrt(b)>=sqrt(c)) && (sqrt(a)+sqrt(c)>sqrt(b)) && (sqrt(b)+sqrt(c)>sqrt(a))){
cout << "треугольник является остроугольным";
}
else{
    cout << "треугольник не является остроугольным";
}
    }
else {
    cout <<"треугольник с такими сторонами не существует";
}



     system("pause");
    return 0;
}


Первый вариант

2) Треугольник задан координатами своих вершин. Даны координаты четвертой точки. Определить, лежит ли эта точка внутри треугольника.



#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main()
{
    setlocale(0, "");
    double p,s,ab,bc,ac,a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,p1,p2,p3,ad,bd,cd,s1,s2,s3;

    cin >> a1;
    cin >> b1;
    cin >> a2;
    cin >> b2;
    cin >> a3;
    cin >> b3;
    cin >> a4;
    cin >> b4;
    cin >> a2;

ab=sqrt(((a1-a2)*(a1-a2))+((b1-b2)*(b1-b2)));
bc=sqrt(((a2-a3)*(a2-a3))+((b2-b3)*(b2-b3)));
ac=sqrt(((a1-a3)*(a1-a3))+((b1-b3)*(b1-b3)));
ad=sqrt(((a1-a4)*(a1-a4))+((b1-b4)*(b1-b4)));
bd=sqrt(((a2-a4)*(a2-a4))+((b2-b4)*(b2-b4)));
cd=sqrt(((a3-a4)*(a3-a4))+((b3-b4)*(b3-b4)));
p=(ab+bc+ac)/2;
p1=(ab+bd+ad)/2;
//by Slava
p2=(bd+cd+bc)/2;
p3=(cd+ad+ac)/2;
s=sqrt(p*(p-ab)*(p-bc)*(p-ac));
s1=sqrt(p1*(p1-ab)*(p1-bd)*(p1-ad));
s2=sqrt(p2*(p2-bd)*(p2-cd)*(p2-bc));
s3=sqrt(p3*(p3-cd)*(p3-ad)*(p3-ac));
if (s==s1+s2+s3) {
  
    cout <<"tochka D yavlyaetsya vnytrenney tochkoy treygolnika ABC";
}

else{
cout << "tochka D ne yavlyaetsya vnytrenney tochkoy treygolnika ABC";
}
    system("pause");
    return 0;
}