[Зачет 92] Доказательство теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема Ферма: Если функция имеет в точке экстремума конечную производную, то эта производная равна нулю.

Теорема Ролля: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], имеет конечную производную в точке этого отрезка и принимает на концах отрезка равные значения, то между а и b существует хотя бы одна точка с, в которой f’(с)=0.

Теорема Лагранжа: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет конечную производную в каждой точке, принадлежащей этому отрезку, то между а и b найдется, по крайней мере, одна точка с, в которой f’(с)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Теорема Коши

Теорема

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции  и :

1. непрерывны на отрезке ;

1. дифференцируемы на интервале ;

1. производная  на интервале ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка  , такая, что