среда, 15 мая 2013 г.

[Зачет 55] Определение предела функции в точке по Гейне и по Коши,Геометрическая интерпретация предела. Единственность предела.

Определение предела функции в точке по Гейне и по Коши.

Предел функции по Гейне

Значение $~A$ называется пределом (предельным значением) функции $f \left( x \right)$ в точке $~x_0$ , если для любой последовательности точек $\left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty}$ , сходящейся к $~x_0$ , но не содержащей $~x_0$ в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности $~x_0$ ), последовательность значений функции $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n=1}^{\infty}$ сходится к $~A$ .

$\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \left( \forall n \in \N \colon x_n \neq x_0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A$

Предел функции по Коши

Значение $~A$ называется пределом (предельным значением) функции $f \left( x \right)$ в точке $~x_0$ , если для любого наперёд взятого положительного числа $\varepsilon$ найдётся отвечающее ему положительное число $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$ такое, что для всех аргументов $~x$ , удовлетворяющих условию $0 < \left| x - x_0 \right| < \delta$ , выполняется неравенство $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ .

$\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right)>0 ~ \forall x \colon 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$

ПРИМЕР

ЗАДАЧА 433 Сформулировать при помощи неравенств

Сформулировать при помощи неравенств следующее утверждение:

Смотреть решение...

Геометрическая интерпретация предела.

Геометрическая интерпретация определения по Коши. Т.к. неравенство (1) равносильно: то какова бы ни была полоса, ограниченная прямыми и , найдется интервал , такой что все точки графика с абсциссами из этого интервала (кроме быть может точки с абсциссами ) окажутся внутри данной полосы

Единственность предела.

Теорема. Последовательность может иметь только один предел.

среда, 15 мая 2013 г.

[Зачет 55] Определение предела функции в точке по Гейне и по Коши,Геометрическая интерпретация предела. Единственность предела.

Предел функции по Гейне

Предел функции по Коши

ЗАДАЧА 433 Сформулировать при помощи неравенств

среда, 15 мая 2013 г.