вторник, 21 мая 2013 г.

[Зачет 85] Определение производной функции в точке и на множестве. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке.

Определение производной функции в точке и на множестве.

Пусть функция y=f(x)

определена в точке $x_{0}$ и некоторой ее окрестности. Придадим аргументу $x_{0}$ приращение $\triangle x$ такое, что точка $x_{0}+ \triangle x$ попадает в область определения функции. Функция при этом получит приращение $\triangle f(x_{0}) = f(x_{0}+ \triangle x) - f(x_{0})$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной функции y=f(x)

в точке $x_{0}$ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента $\triangle x$ , при $\triangle x \to 0$ (если этот предел существует и конечен), т.е.

$\lim_{\triangle x \to 0}\frac{\triangle f(x_{0})}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x_{0}+\triangle x) - f(x_{0})}{\triangle x}$ .

Обозначают: ${f}'(x_{0}) , \frac{\mathrm{d} f(x_{0})}{\mathrm{d} x} , {y}'(x_{0}) , \frac{\mathrm{d} y(x_{0})}{\mathrm{d} x}$ .

Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке.

Пусть дано топологическое пространство $T$ и последовательность $~\{x_n\}.$ Тогда, если существует элемент $x \in T$ такой, что

$\forall U(x) \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow x_n \in U(x))$ ,

где $U(x)$ — открытое множество, содержащее $x$ , то он называется пределом последовательности $x_n$ . Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент $x \in T$ такой, что

$\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow d(x_n, x) < \varepsilon)$ ,

где $d(x,y)$ — метрика, то $x$ называется пределом $x_n$ .

Геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

xf(x0+

x)−f(x0)=tg

, где

- угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.
Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то

x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВприближается к касательной АС.
Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.
Отсюда следует:

производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке.

Уравнение касательной

Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной:

y/(x)=limΔx→0ΔxΔy

Δy=f(x+Δx)−f(x).

Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k

Т.к. x0 и f(x0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y−f(x0)=f/(x0)(x−x0) , или

y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0.

Уравнение нормали

Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:

tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f/(x0)

Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:

tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f/(x).

Точка (x0,f(x0))∈ нормали, уравнение примет вид:

y−f(x0)=−1f/(x0)(x−x0).

Примеры.

ЗАДАЧА 392 Напишите уравнение касательной к графику

Напишите уравнение касательной к графику функции y=0,5x^2–3x+1, проходящей под углом 45° к прямой y=0. Смотреть решение...

ЗАДАЧА 393 Дана функция y = x^3. Составить

Дана функция y = x^3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0=2. Смотреть решение...

ЗАДАЧА 394 Составить уравнение касательной к

Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2. Смотреть решение...

вторник, 21 мая 2013 г.