[Зачет 81] Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Скачок. Вертикальные асимптоты.

Непрерывность функции в точке. 

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:

lim x → x0  f(x) = f(x0),

(1)

т.е.

" O( f(x0) )     $ O(x0) :     x О O(x0) Ю f(x) О O( f(x0) ) .

Точки разрыва и их классификация. 

       Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

      Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х₀.

Пример. Функция f(x) =  имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

.

Скачок.


Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.


Вертикальные асимптоты. 

Если хотя бы один из односторонних пределов f(x0 − 0),  f (x0 + 0) равен бесконечности, то прямая x = x 0 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).

 Вертикальные асимптоты 

     1. Линия задана уравнением y = f(x). Если , то x = a - вертикальная асимптота. В частности, если , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота; если же , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.

     2. Линия задана уравнениями x = x(t), y = y(t). Если , , то x = a - вертикальная асимптота. В частности, если , , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота; если же , , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.