[Зачет 76] Применение векторного произведения векторов для вычисления площади параллелограмма, треугольника и выпуклого четырёхугольника, а также вектора нормали к плоскости.

Применение векторного произведения векторов для вычисления площади параллелограмма, треугольника и выпуклого четырёхугольника, а также вектора нормали к плоскости.

Для параллелограмма

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .

Решение.

По определению векторного произведения двух векторов модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Поэтому для решения задачи найдем сначала векторное произведение , а потом его модуль. Согласно

имеем

а модуль

Искомая площадь параллелограмма

S = 19,26 кв. ед.

Для треугольника

Пример 4. Найти площадь треугольника , если известны координаты его вершин: 

Решение. Найдём векторы  и :

 тогда . Находим .

Имеем

 

Для выпуклого четырехугольника

площадь выпуклого четырехугольника АВСD

равна половине длины векторного произведения [AC BD]

Для вектора нормали к плоскости

 Определение. Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.